《高数Ⅱ》教案

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高等数学Ⅱ课程教案（1）课题教学准备教学目标教学重点熟悉教案及讲稿使学生对（自由）向量有初步了解，掌握向量的线性运算、掌握向量的坐标表示式、掌握用坐标作向量的线性运算，理解方向余弦的概念，为空间曲面等相关知识打好基础。 1.向量的概念 2.向量的线性运算 3.空间直角坐标系的概念 4.利用坐标作向量的线性运算 5.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式研讨式教学内容（板书） 1．回顾中学所学的向量概念及平面解析几何中数导入讲形结合的思想。 2．本章内容的性质与目的一、向量的概念 1．向量、自由向量。由物理中的一些量引入向量及自2．向量的表示方法有: a、i、F、OM等等。由向量的概念 3．向量相等ab： 4．向量的模： 5．向量的夹角： 6．向量平行a//b：(a,b)0或。 第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算教学难点教学方式演示与推导口述中学所述的向量概念，平面解析几何中数形结合的思想。口述。口述。时间约 6 分钟大约 13 分钟围绕向量的两要素讲解与讨论结合推出向量相关概念及性质讨论物理上力的合成，推出两个加法法则。 1

授向量垂直：。 (a,b)2 新课

大约 15 分钟零向量与如何向量都平行或垂直 7. 向量共线与共面：终点与公共起点在一条线上或在一个平面上。二、向量的线性运算 1. 向量的加减法加法运算规定如下：（1）三角形法则：首尾相接。 (2) 平行四边形法则注：向量a和b不平行时（3）向量的加法符合交换律和结合律（4）负向量：由此规定向量的减法：启发学生讨论向量加法的性质诱导学生得出负向量的概念，从而得到将减法变为加法来运算（这一事实可联想到计算机的运算），并推导出减法运算的几何表示。叙述数乘的概念，启发学生得到性质及单位向量的表示式。简要叙述定理的证明与学生讨论例题讲解，注意向量由高中的平面上发展到空间中。简要叙述公式，启发式讲解例子启发并推导出向量的模与两点间距离公式的联系，方向角、方向余弦的定义及计算公式，叙术投影的概念，讲解例子简要叙述大约 16 分钟大约10 分钟大约 35 分钟约 5 分钟 abc 即a(b)c 把向理量a和b移到同一起点，则从b的终点向a 讲的终点所引向量便是C 授（1）定义 3．向量与数的乘法a：新（3）单位向量的表示（4）定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的课充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝a （5）例1：三、空间直角坐标系通过坐标把空间的点M、向量r与一个有序数组一一对应起来。（向量r的坐标分解式：） rxiyjzk，四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间距离公式 2. 方向角与方向余弦 3. 向量在轴上的投影 1.向量的概念 2.向量的线性运算小3.空间直角坐标系的概念结 4.利用坐标作向量的线性运算 5.向量的模与方向余弦的坐标表示式作业

教材P12 习题8-1：4、14、15 （2）运算的性质

高等数学Ⅱ课程教案（2）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式熟悉教案及讲稿让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。 1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论研讨式教学内容（板书） 1．复习上节课内容； 2．实例引入数量积概念导引例：物理上：物体在常力F作用下沿直线位演示与推导时间 1.复习回顾：向量的概念、向量的线性运算、空间直角坐标系的概念、利用坐标作向量的线约性运算、向量的模与方向余弦的坐标表示式 10 2.作图，讲解，归纳总结得出数量积的概念分钟第八章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积 *混合积入移s，力F所作的功为 WFscos 其中为F与s的夹角。一、数量积： 1.定义：ababcos，式中为向量a与b的夹角。 2.投影表示式：当a0时，abaPrjab；叙述启发推导 Ⅴ. 结合律：(a)c(ac)为数 4.坐标表示式：设a{ax,ay,az}，演绎推导 3 约 40 分钟当b0时，abbPrja b讲 3.性质：Ⅰ.aaa 2 授 Ⅱ.两个非零向量a与b垂直ab的充分必要新 Ⅲ. 交换律：abba 课条件为：ab0 Ⅳ.分配律： (ab)cacbc b{bx,by,bz}则 abaxbxaybyazbz ab两向量夹角可以由cos式求解 ab5.两个例子二、向量积： 1.实例： 2.概念： 3.性质：Ⅰ.aa0 启发式讲解例子作图讲解实例，导出向量积概念。启发，讨论，演绎推导出性质、公式启发，讲解例子简要叙述留时间让学生提问约 40 分钟 Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要讲条件为：ab0 Ⅲ. abba 授 Ⅳ. (ab)cacbc 新 Ⅴ. (a)ca(c)(ac) 为数 4.几个等价公式：课 Ⅰ坐标表示式：设a{ax,ay,az}， b{bx,by,bz}则 ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)kiⅡ.行列式表示式：abaxbxjayby kaz bz 补充：|ab|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积 5.三个例子向量的数量积（结果是一个数量），向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的小结条件）收敛数列的有界性；约 10 分钟作业

P22 习题8-2：1、3、9 4

高等数学Ⅱ课程教案（3）课题教学准备教学目标第八章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程熟悉教案及讲稿，制作二次曲面的截痕法演示PPT 介绍各种常用的曲面及描绘二次曲面的截痕法，为学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。教学重点 1.曲面方程的概念 2.球面方程 3.旋转曲面的方程和柱面方程旋转曲面和二次曲面的截痕法研讨式教学内容（板书）由日常生活中所见的各种曲面引入导入一、曲面方程的概念 1. 实例： 2. 曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程叙述与高中平面解析几何中的平面方程对应起来讲解曲面方程的定义通过例子说明几种常见曲面的方程有下述关系：口述演示与推导时间约 10 分钟大约 25 分钟大约 25 分钟 5 教学难点教学方式 F(x,y,z)0 （1）讲 1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1） 2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）授那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。启发总结得出结论新 3．几种常见曲面的方程（1）球面课例1-例2：（2）线段的垂直平分面（平面方程）例3-例4 由上述例子，可知研究空间曲面有两个基本问题：一边演示一边叙述定义说明推导几种常见的旋转曲面的方程（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。（讨启发并推导出旋转曲面方程的求法，并举例论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。（讨论柱面、二次曲面）二、旋转曲面讲授 1. 定义： 2. 旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。例5- 例6 （1）双曲线大约 20 分钟 xz1分别绕x轴和z轴； 22ac22222 绕x轴旋转：xyz1 旋 a2c2转xyz1 22ac222 绕z轴旋转：双曲面叙述柱面定义，由定义启发学生导出特征介绍几个常用的柱面叙述定义 y2z21 （2）椭圆a2c2绕y轴和z轴； x0新课 y2x2z21 绕y轴旋转：22acxyz1 绕z轴旋转：a2c2222旋转椭球面 y22pz （3）抛物线绕z轴； x0 xy2pz 旋转抛物面三、柱面 1．定义： 2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面，其准线为xoz平面上的曲线。 3. 几个常用的柱面： a) 圆柱面：xyR（母线平行于z轴） b) 抛物柱面：y2x（母线平行于z轴） 222222 6

y2z2c) 椭圆柱面：221（母线平行于x轴） bc 大约 25 分钟用多媒体进行演示，并讲解，并总结各x2y2叙述截痕法： d) 双曲柱面：221（母线平行于z轴） ab 四、二次曲面 1. 定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面． 2. 截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．种图形规律特点，可以写出其它的方程表达式。 x2y2z2（一）椭球面2221 abc（二）抛物面 x2y2z，1. 椭圆抛物面：（p与q同号） 2p2qx2y2z，2. 双曲抛物面（马鞍面）：（p与2p2qq同号）（三）双曲面 1. 单叶双曲面 x2y2z2221 2abc2. 双叶双曲面方程为 x2y2z2221 2abc曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，小结作业

总结性简介约 5 分钟柱面的概念(母线、准线)，椭球面、抛物面、双曲面、截痕法. （熟知这几个常见曲面的特性） P31 习题8-3：2、5 高等数学Ⅱ课程教案（4）课题教学准备教学目标教学重点第八章空间解析几何与向量代数第四节空间曲线及其方程熟悉教案及讲稿介绍空间曲线的各种表示形式，为重积分、曲面积分作准备的．让学生掌握各种常用立体的解析表达式，并会简单描图；让学生学会计算空间曲线在坐标面上的投影． 1．空间曲线的一般表示形式 2．空间曲线的参数方程 3．空间曲线在坐标面上的投影空间曲线参数方程的建立研讨式教学内容（板书）复习曲面及其方程导入一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可启发学生，导出空间曲线的一般方程用例题作示范，让学生学会分析曲线的方程，导出曲线的图形叙述与曲面的关系演示与推导叙述曲面方程的概念，启发学生联想曲线时间约 3 分钟大约 32 分钟大约 25 分钟教学难点教学方式以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线． F(x,y,z)0 G(x,y,z)0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程．讲例1-例2 二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的授新课

函数： xx(t)yy(t) zz(t)当给定tt1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点．例3 三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为举例说明，曲线参数方程的导出，进一步阐述螺旋线的性质 8

讲 F(x,y,z)0 G(x,y,z)0 （3）叙述大约 35 分钟大约 20 分钟消去其中一个变量（例如z）得到方程 H(x,y)0 （4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上．此柱面（垂直于xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C 启发学生同理推导或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线．例4、例5、例6： 1．空间曲线的一般方程、参数方程：通过例子示范，让学生掌握空间曲线在坐标面上的投影的求法简要回顾主要内容授在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表新示为 H(x,y)0 z0 课同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线． R(y,z)0； yoz面上的投影曲线x0T(x,z)0xoz面上的投影曲线 y0 在重积分和曲面积分中，还需要确定立体小结 F(x,y,z)0 G(x,y,z)0xx(t)yy(t) zz(t)约 5 分钟 2．空间曲线在坐标面上的投影 H(x,y)0 z0作业

R(y,z)0 T(x,z)0 x0y0教材P P37 习题8-4：3、6 9

高等数学Ⅱ课程教案（5）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第八章空间解析几何与向量代数第五节平面及其方程熟悉教案及讲稿让学生了解平面的各种表示方法，领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系． 1．平面方程的求法 2．两平面的夹角平面的几种表示及其应用研讨式教学内容（板书）导入一、平面的点法式方程空间曲面方程的概念的概念演示与推导与学生一起复习回顾空间曲面方程时间约 3 分钟大约 30 分钟通过例题示范，怎样求平面的点法式方程启发诱导学生，由平面的点法式方程与平面解析几何中直线的点斜式方令Ax0By0Cz0D 得到任一平面都可以用三元一次方程来表示．平面的一般方程为：程对照由方程分析几个特殊的平面 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量．叙述概念平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直． 2．平面的点法式方程启发并导出平面的点法式方程 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 此即平面的点法式方程．讲平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．授例1－例2 二、平面的一般方程新由平面的点法式方程：课

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 AxByCz(Ax0By0Cz0)0，推导出平面的一般方程 AxByCzD0 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面． 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行10

讲授于x轴的平面．同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面． 3）A＝B＝0：方程为CZD0，法线向量 {0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平面．同理：AXD0和BYD0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面． 4）反之：任何的三元一次方程，都表示一个平面程通过例题示范，怎样求平面的一般方叙述定义启发推导两向量夹角余弦公式 2 大约 30 分钟大约 30 分钟例３、例4、例5 新三．两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角．课设平面1:A1xB1yC1zD10，2:A2xB2yC2zD20 n1{A1,B1,C1}， n2{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C222222 启发分析得到结论示范用公式求两平面的位置关系证明平面外一点到平面的距离公式简要叙述几个常用的结论 1) 两平面垂直：（法向量垂直） 2) 两平面平行：（法向量平行） 3) 平面外一点到平面的距离公式：例3例7： 1.平面的方程三种常用表示法：点法式方程，小一般方程，截距式方程．结 2.两平面的夹角以及点到平面的距离公式．作业教材P72 P42 习题8-5：3、6 约 7 分钟

高等数学Ⅱ课程教案（6）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第八章空间解析几何与向量代数第六节空间直线及其方程熟悉教案及讲稿让学生掌握直线方程的求法，及直线与直线、直线与平面的夹角的计算 1．直线方程 2．直线与平面的综合题直线与平面的综合题研讨式教学内容（板书）导1、复习空间曲线的一般方程口述入 2、复习平面的一般方程讲授新课 12 演示与推导时间约5分钟约 3 分钟约 42 分钟约 25 分钟一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线．故其一般方程由空间曲线的一般方程启发导出空间直线的一般方程由平面的点法式方程，启发学生仿此导出空间直线的对称式方程口述用例题说明直线方程的求法及三种形式的互换 A1xB1yC1zD10为： A2xB2yC2zD20二、空间直线的对称式方程与参数方程 1、方向向量．s{m,n,p} 2、对称式方程（或称为点向式方程）． xx0yy0zz0 mnpxx0mt3、参数方程yy0nt zzpt0三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程．例1－例2三、两直线的夹角 1、两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角． 2、两直线的夹角的计算公式与空间两平面的夹角对照，启发学生仿此导出 cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2 两直线L1和L2垂直： m1m2n1n2p1p20 讲授新课讲解、分析例子例3—例4 口述，直观画图，启发学生导出公四、直线与平面的夹角式当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直  线的夹角(0)称为直线与平面的夹角，当直线 2 与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为． 2 设直线L的方向向量为s{m,n,p}，平面的法线向量为n{A,B,C}，直线与平面的夹角为，那么 AmBnCpsin 222222ABCmnp ABC 直线与平面垂直：s//n 相当于 mnp 直线与平面平行：sn 相当于AmBnCp0 xyz10平面束方程：过平面直线的平面束 xyz10 方程为 (A1xB1yC1zD1)(A2xB2yC2zD2)0通过例子讲解公式的运用 mnp两直线L1和L2平行：111） m2n2p2 大约 20 分钟例5 空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平约 5 分钟作业教材P49 习题8-6 1、4 小结面的夹角（注意直线与平面的位置关系）．

高等数学Ⅱ课程教案（7）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入讲授一、向量的代数（一）向量的概念向量、向量的表示方法、向量相等ab、向提问式复习提问式复习 4、柱面 5. 二次曲面（三）空间曲线 14 第八章空间解析几何与向量代数第八章小结与习题课熟悉教案及讲稿复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识 1．向量代数及空间解析几何的基本概念 2．典型的综合题直线与平面的综合题研讨式教学内容（板书）演示与推导时间大约 30 分钟量的模、向量的夹角、向量平行、向量垂直、向量共线与共面．（二）向量的线性运算 1. 向量的加减法 2．向量与数的乘法a： 3、向量的坐标表示法 4、利用坐标作向量的线性运算 5、向量模长的坐标表示式 6、向量方向余弦的坐标表示式新（二）数量积：（三）向量积：课二、空间解析几何（二）曲面方程的概念 1.曲面方程的定义． 2. 研究空间曲面的两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．3. 旋转曲面讲授（四）平面 1. 平面的点法式方程 2. 平面的一般方程 3. 几个平面图形特点： 4 平面的截距式方程 5．两平面的夹角 6. 几个常用的结论 1) 两平面垂直 2) 两平面平行 3) 平面外一点到平面的距离公式分析、启发、讲解分析：由已知条件建立关于z的方程，从而求之。分析：由A、B二点坐标的特点，设所求平面的方程为截距式方程分析：先设点C（0，0，z），可用向量的向量积确定ABC的面积，从而可得关于z的函数，再用导数知识确定使ABC的面积最小的z。大约 30 分钟约30分钟新（五）空间直线课 1. 空间直线的一般方程 2. 空间直线的对称式方程参数方程 3. 两直线的夹角 4. 直线与平面的夹角二、典型例题例1 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边。（P50 第5题）证明：略例2 设abab，a{3,5,8}，（P50 第6题） b{1,1,z}，求z。解：略，z1。例3 求通过点A（3，0，0）和B（0，0，1）且与xoy面成角的平面方程。（P51 第15题） 3解：略例4 已知点A（1，0，0）及点B（0，2，1），试在z轴上求一点C，使ABC的面积最小。 1解：略，z。（P51 第18题） 5小结作业

课后自已将本章知识梳理一下。高等数学Ⅱ课程教案（8）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念熟悉教案及讲稿掌握平面点集的一系列概念，理解多元函数极限，了解连续的概念以及闭区域上连续函数的性质等。邻域、多元函数极限、连续等概念。多元函数极限的概念研讨式教学内容（板书）回顾一元函数概念及所学过的一些函数性导入一、区域 1、邻域 1、U(P0,)可简记为U(P0) 2。、点P0的去心邻域记为U(P0)， 0演示与推导很多实际问题有多个变量与一个变量的依赖关系，即多元函数。时间约 10 分钟大约 20 分钟大约 20 分钟质；一元函数极限与连续的概念及性质。 U(P0,)P|PP0| (x,y)|(xx0)(yy0). 22U(P0)P0|PP0| 02、区域 (x,y)|0相关概念：内点、边界、有界点集、无界点集、讲例如连通性。授连通的的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界一起称为闭区域． (xx0)2(yy0)2. {(x,y)|xy0}为开无界区域。 {(x,y)|1x2y24}.为有界闭区域。前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间R。由定义1类似地可定义三元及三元以上函数；当n2时，n元函数统称为多元函数；多元函数中同样有定义域、值域、自变n 3、n维空间新设n为取定的一个自然数，称n元数组 (x1,x2,,xn)的全体为n维空间，记为Rn。课

二、多元函数概念定义1 zf(x,y) （或zf(P)）. 例1：求f(x,y)arcsin(3x2y2)xy2量、因变量等概念．的定义 16

域．二元函数zf(x,y)的图形讲授点集{(x,y,z)|zf(x,y),(x,y)D}。三、多元函数的极限定义2 limf(x,y)A xx0yy0如：线性函数zaxbyc的图形为一平面。注意定义中PP0的方式是任意的；定义中的极限也叫二重极限；二元函数的极限运算法则与一元函数类似．。若二元函数f(P)在区域D内的每一点连续，则称函数f(P)在区域D内连续；如果f(P)在点P0处不连续，则称P0是函数大约 20 分钟大约 20 分钟（或limf(P)A） PP0例2 （P58例4）例3 （P59例5）新四、多元函数的连续性定义3 limf(P)f(P0) PP0 课例4 讨论函数 xy22x2y2,xy0f(x,y) 0,x2y20在(0,0)处的连续性．五、闭区域上连续函数的性质 1．最值性 2．介值性 3．一致连续性六、多元初等函数连续性 1、多元初等函数由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数． 2．多元初等函数连续性一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．例5 （P62例8） f(P)的间断点. 求limf(P)时，如果f(P)是初等函数，PP0且P0是f(P)定义域的内点，则f(P)在点P0处连续，于是limf(P)f(P0). PP0 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．小结作业

多元函数的定义；多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）；多元函数连续的概念；约 10 闭区域上连续函数的性质．分钟教材P62 习题9-1：2，5 (1)（2）(5) 17

高等数学Ⅱ课程教案（9）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章多元函数微分法及其应用第二节偏导数熟悉教案及讲稿掌握偏导数的定义、偏导数存在与连续的关系、偏导数的几何意义以及高阶偏导数及其计算方法等。偏导数的定义及其计算方法高阶偏导数的计算研讨式教学内容（板书）一元函数的微分法及其计算。导入讲一、偏导数的定义及其计算方法 1、定义强调偏导数的各种记号的书写偏导数的概念可以推广到二元以上函数．演示与推导回顾一元函数的微分法及其计算。时间约 10 分钟大约 25 分钟大约 15 分钟 18

zf(x0x,y0)f(x0,y0)=lim x0x0xxxyy0zy=limxx0yy0y0f(x0,y0y)f(x0,y0) yu偏导数是一个整体记号，不能拆x分．二阶偏导数有下面四个：例1 （P65）例2 （P65）授例3 （P65）例4 （P65） 4、偏导数的几何意义新（图见P66）. 3、偏导数存在与连续的关系课一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续．例如（P67例）

二、高阶偏导数偏导函数fx(x,y)，fy(x,y)的偏导数是zf(x,y)的二阶偏导数．定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. z2zfxx(x,y),xxx2z2z2fyy(x,y) 纯偏导 yyy 例5 （P67） z2zfxy(x,y), yxxy 大约 20 分钟大约 20 分钟讲问题：混合偏导数都相等吗？授 z2z fyx(x,y) 混合偏导。xyyx xy设f(x,y)x2y203(x,y)(0,0)(x,y)(0,0) 问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？由定义可计算 0=fxy(0,0)fyx(0,0)=1 新定理如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数课 22zz 及在区域 D内连续，则在区域D内有 yxxy 2z2z=． yxxy 例6 （P67）验证函数u(x,y)ln普拉斯方程xy满足拉22例6、例7中的两个方程都叫做拉普拉斯方程，它们是数学物理方程中一种重要的方程。 uu20. 2xy22 1例7 （P68）证明函数u满足方程 r2u2u2u220， 2xyz其中r 偏导数的定义（偏增量比的极限）；偏导数的计算、偏导数的几何意义；高阶偏导数：纯偏小结作业

x2y2z2。约 10 分钟导，混合偏导及其混合偏导相等的条件．教材P69 习题9-2：1 (1)(3)(7)，3，8．高等数学Ⅱ课程教案（10）课题教学准备教学目标熟悉教案及讲稿通过教学使学生理解全微分的概念；掌握全微分应用；掌握多元复合函数的求导法则及其应用。教学重点教学难点教学方式全微分的概念及多元复合函数的求导法则的应用多元复合函数的求导法则的应用研讨式教学内容（板书）回顾一元函数微分的概念及表示法。导入第三节全微分及其应用一、全微分的定义函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分. 如果函数zf(x,y)在点(x,y)可微分, 则函数在该点连续.（P71）由此定理1及P71例可知，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件．即：可微则偏导数存在，但偏导数存在未必可微．虽然偏导数存在并不能保证全微分存在，但偏导数存在且连续由一定能保证全微分存在。习惯上，记全微分为演示与推导时间约 10 分钟大约 20 分钟大约 20 分钟大说明： 20

第九章多元函数微分法及其应用第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则定义1（P70 全增量的概念）定义2（P70 全微分的概念）定义3 连续与可微的关系二、可微的条件定理1（必要条件）讲定理2（充分条件） zz dxdy. 习惯上，记全微分为dz授 xy例1 （P25）例2 （P25）新例3 （P25）多元函数连续、偏导数存在、可微的关系偏导数连续的函数一定可微；可微一定存在偏导课数；可微一定连续；其它则未必．第四节多元复合函数的求导法则

dzzzdxdy． xy通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况。一、求导法则 dzzduzdv定理1：． dtudtvdtzzuzv定理2：， xuxvx约 20 分钟讲授 zzuzv . yuyvy1) 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 大约 10 分钟大约 10 分钟 dz2) 以上公式中的导数称为全导数. dt特殊地: zf(u,x,y)，其中u(x,y), 即3) 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。注意：zf[(x,y),x,y],则 zfufzfuf. , yuyyxuxxz把复合函数xzf[(x,y),x,y]中的y看作不变而对x的偏导数；而例1 （P79）新例2 （P79例3）课例3 设wf(xyz,xyz)，f具有二阶连续偏导f把xzf(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数；zf和的区别与上面yyw2w数，求和. xxz二、全微分形式不变性设函数zf(u,v)具有连续偏导数，则有全微分相同． dzzzdudv;当u(x,y)、v(x,y)时，uvzzdxdy. 有dzxy全微分形式不变形的实质：无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的. 例4 已知exz2zez0，求zz和. xy小结作业

1．多元函数全微分的概念； 2．多元函数全微分的求法； 3．多元函数连续、偏导数存在、可微的关系； 4．全微分形式不变性。教材P75 习题9-3：1（1）（2），2，4；教材P82 习题9-4：2，5，11。约 10 分钟 21

高等数学Ⅱ课程教案（11）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入一、一个方程的情形隐函数存在定理1 若F(x,y)的二阶偏导数存在且连续，则可得二阶导数。二法求解。思路：把z看成x,y的函数对x求第九章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导公式熟悉教案及讲稿了解隐函数求导公式的推导；掌握隐函数求导公式的应用隐函数求导公式的应用隐函数求导公式的应用研讨式教学内容（板书）演示与推导时间约 10 分钟大约 15 分钟大约 30 分钟 1.F(x,y)0 dyFx. dxFy 例1：（P84）讲授 2.F(x,y,z)0 dyy22例2：已知lnxyarctan，求. xdx 隐函数存在定理2 新 FyzFxz， . xFzyF 课例3 （P85例2）

zzxy例4 设zf(xyz,xyz)，求，，. xyz z偏导数得，把z看成x,y的函数对xzx求偏导数得，把y看成x,z的函xy数对z求偏导数得. z 讲隐函数存在定理3 授新课 F(x,y,u,v)0二、方程组的情形  G(x,y,u,v)0FxFvGvFvGvFxGxFvGvFyGy 提醒学生注意各函数得列式的特点。大约 20 分钟 Gxu1(F,G)FuxJ(x,v)GuFv1(F,G)uGuxJ(u,x)Fyu1(F,G)GyyJ(y,v)Fuv1(F,G)GuyJ(u,y), FuGuFuGuFuGuFv GvFv,GvFv. Gv 大约 15 分钟 uu例5：设xuyv0，yuxv1，求，，xyvv和. xy解1：直接代入公式；解2：运用公式推导的方法。例6（P88例4）隐函数的求导法则（分以下几种情况）： 1.F(x,y)0；小结约 10 分钟 2.F(x,y,z)0； F(x,y,u,v)03． ． G(x,y,u,v)0作业教材P 习题9-5：2，4，10（2）。

高等数学Ⅱ课程教案（12）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章多元函数微分法及其应用第六节多元函数微分学的几何上应用熟悉教案及讲稿掌握微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用研讨式教学内容（板书）口述：一元函数的导数在几何上有应用，同样多导入一、一元向量值函数及其导数定义1（一元向量值函数）（P90）定义2（一元向量值函数的极限）（P91）定义3（一元向量值函数的连续）（P91）定义4（一元向量值函数的导数）（P91）向量值函数的求导法则（P92）由定义1、定义2、定义3可知，一元向量值函数、极限、连续性和可导性是普通一元函数、极限、连续性和可导性的推广。特殊地：（1）空间曲线方程为 元函数微分学在几何上也有应用。演示与推导时间约 10 分钟大约 20 分钟大约 20 分钟 M 讲（1）——（7）例1（P93例3）授二、空间曲线的切线与法平面 x(t) 空间曲线的方程 y(t)新 y(x), z(x)(1) 则切线方程为： z(t) 课则切线方程：xx0yy0zz0. /(t0)(t0)(t0)

xx0yy0zz0， 1(x0)(x0)法平面方程为： (xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 法平面方程： (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0．例2（P94例4）例3（P96例5）解1：直接利用公式；解2：方程两边对x求导三、曲面的切平面与法线 F(x,y,z)0（2）空间曲线方程为, G(x,y,z)0则切线方程为： xx0FyFzGyGzMyy0FzFxGzGxMzz0FxFyGxGy 大约设曲面方程为F(x,y,z)0，则法平面方程为： 20 分钟 FyGy 过点M的切平面方程为：讲 Fx(x0,y0,z0)(xx0)+ Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0授新过点M的法线方程为 FyGyFzGzFzGzFxGx(xx0)+ MFx(yy0)GxM (zz0)0 M 大约 20 分钟 xx0yy0zz0 Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0) 特殊地：曲面的方程为 zf(x,y)，课则曲面在Ｍ处的切平面方程为： fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0 曲面在M处的法线方程为 xx0yy0zz0． fx(x0,y0)fy(x0,y0)1全微分的几何意义：（P99）法向量的方向余弦：若用、、表曲面的法向量的方向角，并假设法向量的方向是向上的，即它与z轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的的方向余弦为 cosfx1ff2x2y，cosfy1ff2x2y， cos11ff2x2y 例4 （P99）例5（P99） 1．一元向量值函数、连续性以及导数的概念； 2．空间曲线的切线与法平面； 3．曲面的切平面与法线。约 10 分钟作业

小结教材P100 习题9-6：3，4，6。高等数学Ⅱ课程教案（13）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章多元函数微分法及其应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法熟悉教案及讲稿掌握方向导数与梯度的概念及其计算，了解多元函数的极值的概念，掌握多元函数的极值的求法。多元函数的极值的概念及其求法多元函数的极值的求法研讨式教学内容（板书）口述：我们知道，偏导数反映的是函数沿坐标轴导入方向的变化率，但有时我们还需讨论函数沿任一指定的变化率。第七节方向导数与梯度一、方向导数函数f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题．方向导数可推广到三元函数上。定理（方向导数与偏导数的关系）（P102）例1（P102）问题：函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？ 22演示与推导时间约 10 分钟大约 20 分钟大约 20 分钟 ff(xx,yy)f(x,y)lim. 定义：l0 讲例2（P103）授二、梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度．新 ffij. 定义： gradf(x,y)xyff|gradf(x,y)|y x推广课结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向

与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．等高线．梯度与等高线的关系例3（P106）例4（P107例5） 26

fffgradf(x,y,z)ijk. xyz 第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值和最值 1．二元函数极值的定义该定理可推广。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？由此定理归纳出求函数zf(x,y)极值的一般步骤（三步）无条件极值：对自变量除了在定义域内外，并无其他条件. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：大约 20 分钟大约 20 分钟例1（P109）例2（P109）讲 2．多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，授新均称为函数的驻点. 注意：极值点为驻点；驻点不一定是极值点．定理2（充分条件）例3（P111例4）课 3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法：将函数在Ｄ内的所有驻点处的函数值及在Ｄ的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 例4（P112例5）二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（P115）要找函数zf(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点．例5 将正数12分成三个正数x,y,z之和使得uxyz为最大. 32x2y2z2例6 在第一卦限内作椭球面 2221的切abc平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 小方向导数的概念、梯度的概念，方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数f(x,y)在这约 10 结点增长最快的方向。分多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）；多元函数的最值；拉格朗日乘数法。钟作业教材P108 习题9-7：1，5，8；教材P118 习题9-8：2，6。

高等数学Ⅱ课程教案（14）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十章重积分第一节二重积分的概念与性质熟悉教案及讲稿理解二重积分的概念，了解二重积分的性质二重积分的概念及性质二重积分的概念研讨式教学内容（板书）回顾定积分的概念及性质导入讲一、二重积分的概念 1．实例（1）曲顶柱体的体积（四个步骤）（2）平面薄片的质量（四个步骤） 2．二重积分的定义（四个步骤）两种实际意义完全不同的问题，最终都归结同一形式的极限问题．二重积分的几何意义结论：若f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分存在．几何意义：高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 2．积分区域的可加性若区域D分为两个部分区域D1与D2,则说明等式两边的D与D1、D2的关系。 28

演示与推导口述定积分的定义，口述定积分的四类性质。时间约 10 分钟大约 30 分钟大约 30 分钟 ffx,ydlimD0i1ni,ii =D 授二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质新 1．线性性 [f(x,y)f(x,y)]d 课 fx,ydxdy D

＝f(x,y)d＋f(x,y)d DD其中:,是常数． f(x,y)d＝f(x,y)d＋f(x,y)d。 DD1D2 3．1d＝d,为区域D的面积。 DD以后可作为公式用。利用二重积分的性质解决利用二重积分的性质解决大约 10 分钟讲 4．单调性授若在D上，f(x,y)(x,y),则有不等式： f(x,y)d(x,y)dDD 特别地，由于f(x,y)f(x,y)f(x,y)，有：新课 Df(x,y)df(x,y)dD． 5．估值不等式设M与m分别是fx,y在闭区域D上最大值和最小值，是D的面积，则 mf(x,y)dM． D6．二重积分的中值定理设函数fx,y在闭区域D上连续，是D的面积,则在D上至少存在一点,，使得例1 估计二重积分22Df(x,y)df(,) 22(x4y9)d的值, D是D圆域xy4．例2 比较积分2与ln(xy)d[ln(xy)]d的DD大小．其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0)．小结作业教材P136 习题10-1：4（1）（3），5（1）。二重积分的定义可按四步进行，二重积分的性质也可主要分为四类。约 10 分钟

高等数学Ⅱ课程教案（15）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十章重积分第二节二重积分的计算法熟悉教案及讲稿掌握二重积分在直角坐标系下计算方法二重积分在直角坐标系下计算方法将二重积分化为二次积分研讨式教学内容（板书）复习回顾二重积分的定义与性质导入讲 bddb演示与推导二重积分的计算如按定义计算其计算量是相当大，是不可取的，那么二重积分的计算该如何进行？应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法时间约 10 分钟大约 15 分钟大约 25 分钟一、利用直角坐标计算二重积分 1．如果积分区域D为：axb，cyd时，则 Df(x,y)ddxf(x,y)dydyf(x,y)dx； acca例1计算xyd， D其中D{(x,y)1x1,1y2}。 X－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点．Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点．如果积分区域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分对于积分区域具有可加性，它们的和就是在D上的二重积分．注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数fx,y的特性． 30

授 2．若积分区域D为X－型：1(x)y2(x)，新 axb，1(x)、2(x)在a,b上连续．则课

b2(x)Df(x,y)ddxaf(x,y)dy． 1(x) 3．若积分区域D为Y－型：1(x)y2(x)，cyd，1(y)、2(x)在c,d上连续．则 D f(x,y)dcdy(y)f(x,y)dx． 1d2(y)先用两种积分次序进行计算，归纳总结：在计算时，应先画出区域的图形，D 再根据区域的形状选择恰当的二次积其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域。分的次序，可简化计算量。讲授 22先让学生在纸上准确地画出区域例3 计算y1xyd，的图形，根据区域的形状选择恰当的二D 次积分的次序。新其中D是由直线yx、 x1及y1所围成的闭区域。师生共同完成。例4计算xyd，课例2 计算xyd，大约 40 分钟 D 2其中D是由抛物线yx及直线yx2所围成的闭引导学生应注意，这是一个文字题，应首先建立二圆柱面的方程，再求之。区域。例4 求两个半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。小结作业二重积分在直角坐标系下的计算，计算时一定要正确地化为二次积分。约 10 分钟教材P153 习题9-2 1，2（2）(4)，4。

高等数学Ⅱ课程教案（16）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十章重积分第二节二重积分的计算法（续）熟悉教案及讲稿掌握二重积分在极坐标系下的计算方法二重积分在极坐标系下的计算方法将二重积分化为二次积分研讨式教学内容（板书）复习回顾二重积分在直角坐标系下的计算方法，导入二、利用极坐标计算二重积分在直角坐标系中引入极坐标系，使极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，则同一点P，直角坐标为P(x, y)，极坐标为P(r, )，其关系为：复习直角坐标与极坐标的关系。求二重积分与定积分类似，二重积分经过一个适当的换元也能简化计算．在极坐标系中当r＝常数( r0 )时，是以原点为心的圆；当＝常数(02)时，是从原点出发的射线．有些区域在直角坐标系中用x, y的二元不等式来表示很繁，而用极坐标系的不等式表示却很简单．如（1）以原点为心以Ｒ为半径的圆域在直角坐标系中 xyR，在极坐标系中 rR,02；（2）以原点为心分别以a与b(0积分区域D在极坐标系中是区域D/： r1()rr2(),．被积函数f(x,y)在极坐标系中是 f(rcos,rsin)．面积微元d在极坐标系中是rdrd（简要说明）．在极坐标系中从而得二重积分极坐标替换公式： arb,02； Df(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd Da（3）以a2,0为心以2为半径的圆域极坐标系下的二重积分的计算也是化为累次积分，如何将极坐标系下的二重积分化为累次积分，现分别讨论之： 32

在直角坐标系中 xyax，在极坐标系中 22 讲 1) 若极点Ｏ不在积分区域D的内部，则 r2() racos,22；分钟大约 30 分钟 f(x,y)dxdydf(rcos,Dr1()rsin)rdr． a（4）以0,a2为心以2为半径的圆域 2) 若极点O在积分区域D的内部，如图（P108）授设D的边界曲线在极坐标下的方程是：新则课 2r()在直角坐标系中 xyay，在极坐标系中 rasin,0。一般来说，计算时，当被积函数含22rr(),02． Rf(x,y)dxdyd00f(rcos,rsin)rdr．有“xy”或围成积分区域的边界曲线方程含有“xy”时，可考虑使用极坐标替换． 2222 例5计算eDx2y2dxdy，此题为被积函数与围成积分区域的边界曲线方程都含有“xy”，故考虑用极坐标替换．引导学生思考。 22其中D是由中心在原点、半径为R的圆周所围成的闭区域。例6 求球体xyz4a被圆柱面2222x2y22ax(a0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 1x2例7 把dx(xy)0x2122 dy化为极坐标形式，再先由二次积分所表示的二重积分的积分区域正确的描述出来，再行替换．计算。小结作业教材P153 习题9-2 11，12，14。二重积分在计算极坐标下的计算，计算时一定要正确地化为二次积分。约 10 分钟

高等数学Ⅱ课程教案（17）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章重积分第三节三重积分熟悉教案及讲稿理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法三重积分的概念及其计算法三重积分化为三次积分研讨式教学内容（板书）复习回顾二重积分的定义与性质。导入讲二、三重积分的计算授 1．利用直角坐计算三重积分（1）若新一、三重积分的概念定义演示与推导与二重积分的定义类似，可定义三重积分，而三重积分也有与二重积分类似的性质。定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分若函数fx,y,z在闭区域上连续，则三重积分存在．特别指出：二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分上．如果fx,y,z表示某物体在时间约 10 分钟大约 15 分钟大约 25 分钟大约 20 分钟 fx,y,zdv=fx,y,zdxdydz =lim0i1nfi,i,ivi x,y,z处的质量密度，是该物体所占有的空间区域，且fx,y,z在x,y,zaxb,cyd,ezf， 上连续，则该物体的质量为 Mfx,y,zdv．  则课

fx,y,zdvdxdyf(x,y,z)dz； acebdf特别地, 当fx,y,z1时，dv的体积． 例1 计算xyzdv， 2其中x,y,z1x2,0y1,1z1。（2）若在xoy面上的投影区域为Dxy，过Dxy上任意一点，作平行于z轴的直线穿过内部，与边界曲面相交不多于两点．亦即，的边界曲面可分为上、下两片部分曲面． S1：zz1(x,y)，S2：zz2(x,y) 34

如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区讲其中z1(x,y)，z2(x,y)在Dxy上连续，并且域内部的直线与边界曲面S的交点多于两个，可仿照二重积分计算中所采用的方法，将分成若干个部分，(如1,2)，使在上的三重积分化为各部分区域(1,2)上的三重积分之和,当然各部分区域(1,2) 应适合对区域的要求．先正确作出的图形，确定积分次序，最后按积分次序将作投影。此例若化成三次积分计算比较困难。大约 20 分钟 z1(x,y)z2(x,y)．授若Dx,yyxyyx,axb， xy12 则三重积分可化为如下三次积分：新 x,y,zz1x,yzz2x,y,x,yDxy，  课 fx,y,zdvdxaby2(x)z2(x,y,z)y1(x)dyz1(x,y)f(x,y,z)dz．这就是三重积分的计算公式，它将三重积分化成先对积分变量z，次对y,最后对x的三次积分．例2（P159例1）计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法．有下述计算公式．设空间闭区域 x,y,zx,yDz,c1zc2， 其中Dz是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有： fx,y,zdvdzfx,y,zdxdy． c1Dzc2 例3（P160）介绍了三重积分的定义，按四个步骤进行，同时介绍了三重积分的计算方法，即化三重积小结分为三次积分。作业

约 10 分钟教材P11 习题10-3：1（2）（3），5。高等数学Ⅱ课程教案（18）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第九章重积分第三节三重积分（续）熟悉教案及讲稿掌握三重积分的柱面坐标和球面坐标替换公式，能用它们作三重积分的计算。利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分研讨式教学内容（板书）复习回顾二重积分计算的极坐标替换。导入 2．利用柱面坐标计算三重积分与二重积分类似，三重积分的计算也有两种具体的换元。在柱面坐标中三个坐标面：当r= 常数(r0)时，是以z轴为在空间直角坐标系中的一点M(x,y,z)，将点M中心轴的圆柱面；投影到xy平面上，设投影点P的极坐标（极点与原点当= 常数(02)时，是从z轴出发的半平面；重合，极轴与x轴的正半轴重合）是P(r,)，xy平当z= 常数(z)时，是面上的极坐标系再加上z轴就是柱面坐标系．显然同与xy平面平行的平面．柱面坐标系的一点M(r,, z)恰是这三个坐标面的交点．因为柱面坐标系的三个坐标面中有一个是圆柱面，所以称为柱面坐标系．有些曲面在直角坐标系下表示式较繁，但在柱面坐标系下表示式却比较简单．例如圆柱面，在直角坐标系下表示为：演示与推导时间约 10 分钟大约 40 分钟讲一点M的直角坐标M(x,y,z)与柱面坐标M(r,, z) 之间的关系式是：授 xrcos,yrsin，z = z．这就是柱面坐标替换公式．计算方法与二重积分的极坐标方法一样．新计算三重积分 f(x,y,z)dxdydz．  课作柱面坐标替换：xrcos,yrsin，z = z．

x2y2a2，zh(a,h0)，而在柱面坐标系下表示为：则替换后的体积微元为：rdrddz．（用微元法简单说明）则 ra,02,hzh．显然，前者繁，后者简．因此，将某些三重积分放在柱面坐标系中进行计算就能使计算简化一般来说，围成体的曲面方程f(x,y,z)dxdydz =f(rcos,rsin,z)rdrddz 其中等式左边的体用直角坐标表示，右边的体用或被积函数含有“x2y2”或柱面坐标表示．在柱面坐标系中三重积分化成累次积分时，安置积分限的方法见下面之例（一般先z再r“x2y2z2”可考虑使用柱面坐标后）．替换．例4（P161例3）大约 40 分钟 3．利用球面坐标计算三重积分讲授新在球面坐标系中三个坐标面是：当r＝常数( r0)时，是以原点为同一点M的直角坐标M(x, y, z)与球面坐标M(r, 心以r为半径的球面；当＝常数(0)时，是以原点为顶点以z轴为中心轴半顶角为的圆锥面；当＝常数(02)时，是从z轴出发与xz坐标面的夹角是的半平面．球面坐标系中的一点P(r, , )之间的关系式是 xrsincos,yrsinsin, zrcos. 这就是球面坐标替换公式．课计算三重积分 f(x,y,z)dxdydz． V, )作球面坐标替换： xrsincos，yrsinsin，zrcos，则体积微元为：dxdydzrsindrdd．（用微元法说明）故 2恰是这三个坐标面的交点．因为球面坐标系的三个坐标面有一个是球面，所以称为球面坐标系．有些曲面在直角坐标下表示式较繁，但在球面坐标下表示式却比较简单．例如以原点为心以a为半径的球面, f(x,y,z)dxdydz= V2f(rsincos,rsinsin,rcos)rVsindrdd 在直角坐标下表示为xyza, 而在球面坐标下表示为2222其中等式左边的体Ｖ用直角坐标表示，右边的体Ｖ用球面坐标表示．在球面坐标系中三重积分化成累次积分时，安置积分限的方法见下面之例（一般先r再后）．例5（P163例4） ra,0,02. 显然，前者繁后者简．一般来说，围成体Ｖ的曲面方程或在被积函数含有“xy”或“xyz”，可考虑使用球面坐标替换． 22222 柱面坐标和球面坐标的替换公式，一定注意具有什么样特点的三重积分利用柱面坐标和球小结面坐标作计算较易。作业教材P1 习题10-3：9（1），10（1）。约 10 分钟

高等数学Ⅱ课程教案（19）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十章重积分第四节重积分的应用熟悉教案及讲稿掌握重积分在几何与物理方面的一些简单应用重积分在几何与物理方面的一些简单应用将几何与物理方面的问题转化为重积分研讨式教学内容（板书）复习回顾重积分的计算方法，定积分可在几何与物导入讲授新课

演示与推导一些实际问题。时间 10 分钟与定积分类似，二重积分也可解决约理方面的一些应用，而重积分呢？一、曲面的面积设曲面S由方程zf(x,y)给出，Dxy为曲面S在把定积分的元素法推广到二重积分的应用中．若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成大约 20 分钟 xoy面上的投影区域，函数f(x,y)在Dxy上具有连续偏许多部分量，且U等于部分量之和)，并//导数fx(x,y)和fy(x,y)，则曲面S的面积且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地表示为fx,yd的形式，其中x,y在ADxy1f(x,y)f(x,y)d 或 2x2yd内．这个fx,yd称为所求量U的元素，记为dU，所求量的积分表达式为UADxyzz1dxdy xy22fx,yd． D若曲面的方程为xg(y,z)或例1（P167）例2（P168）二、质心设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点yh(z,x),可分别将曲面投影到yoz面或zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有 ADyz22大 xx1yzdydz 或约 20 分钟 ADzxyy1dzdx zx22如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则讲授 x,y处的面密度x,y,假定x,y在D上连续,则该薄片的质心坐标为 11xxd，yyd ADAD其中A 大约 20 分钟大约 20 分钟 Mxx，yMM(x,y)dDDMyx(x,y)dy(x,y)dDd为区域D的面积 D(x,y)dD 十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定，因此，习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心．平面薄片的质心坐标可推广到空间物体的质心坐标。（P171）例3（P171）新课三、转动惯量设有一薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点x,y处的面密度为x,y,则该薄片对于x轴、y轴的转动惯量Ix,Iy分别为 Ixy2x,yd，Iyx2x,yd DD 例4（P172例5）四、引力（P173——P174）例5（P174例7）介绍了二重积分在以下四个方面的简单应用：曲面的面积、平面薄片的重心、转动惯量、引力约 10 分钟教材P175 习题10-4：2，4（3），9（2）。小结作业

高等数学Ⅱ课程教案（20）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入讲授一、本章小结（一）二重和三重积分的概念及性质概念及性质与定积分类似（二）二重积分的计算法 1．利用直角坐标计算 2．利用极坐标计算（三）三重积分的计算法 1．利用直角坐标计算 2．利用柱面坐标计算 3．利用球面坐标计算与学生一起复习回顾，并强调注之处。第十章重积分第十章小结与习题课熟悉教案及讲稿复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识掌握重积分化为累次积分重积分化为累次积分研讨式教学内容（板书）演示与推导时间大约 40 分钟大约 60 分钟新（四）重积分的应用 1．立体的体积课

2．曲面的面积 3．质心（重心）坐标 4．转动惯量 5．引力二、典型例题例1 计算DR2x2y2dxdy， 2 用极坐标计算，但应注意换元后的符号。 40

其中是圆周xyRx所围成的闭区域。 P182。2（3）题 2解：略。R4() 333 讲授新课 D{(x,y) 111x2例2 交换二次积分dx0f(x,y)dy的次序。 x先确定由二次积分所对应的二重积分的积分区域，再改变积分次序。只需注意到二重积分的结果是常数，这时令f(x,y)dxdyA，求出A P182。3（3）题 1y222yy2解：略。dy0f(x,y)dx＋dyf(x,y)dx 010例3 设f(x)在闭区域 22D1xyy,x0}上连续， 22即可。法一：利用直角坐标计算，采用“先重后单”的积分次序。法二：利用球面坐标计算，作锥面且f(x,y)1xyf(x,y)dxdy， D8求f(x,y)。 P182。6题解：略。A例4 计算1 1292zdxdydz， 其中是两个球面xyzR和2222arccos123。 x2y2z22Rz(R0)的公共部分。 P183。8（1）题 59R5解：略。 480 小结作业

课后自已将本章知识梳理一下。高等数学Ⅱ课程教案（21）

课题教学准备教学目标第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分熟悉教案及讲稿 1．理解对弧长的曲线积分的定义 2．了解对弧长的曲线积分的性质 3．掌握对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的定义研讨式教学内容（板书）导入上节介绍了多元函数的重积分的概念（四步进行）及其计算方法。一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1．概念与性质（对弧长的曲线积分也称为第二型曲线积分）定义设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，多元函数的积分除重积分外，还有其它形式的积分。问题的提出（平面非均匀弯曲构件的质量问题）：设质量分布在xoy平面一条可求演示与推导时间约 10 分钟大教学重点教学难点教学方式 iii0i1讲用si表示第i个小段的长度，i1,2,...,n．令max{s,s,,s}． 12n说明： 1) 当f(x,y)为线密度时，任取(i,i)si，i1,2,...,n，作和式授 nf(x,y)ds表示平面非均匀弯曲构件的质 Lf(i,i)si．如果不论对曲线弧怎样划分，Li1 量．新也不论在小段si上点(i,i)怎样选取，只要当2）若L为闭曲线时，则f(x,y)在闭长的曲线L上，它的线密度函数为(x,y)，约求曲线的质量． 30 应用“分割、代替、求和、取极限”方函数f(x,y)在L上有界，在L上任意插入若干个分 n分点把L分成n个小段：s1,s2,sn，并法：Mlim钟 f(,)s．  大约 10 分  i1课此极限为函数f(x,y)在L上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分，记为f(x,y)ds．即

n0时f(i,i)si，的极限总存在，则称曲线L上对弧长的曲线积分记为 f(x,y)ds； LL3)上定义可推广到到积分弧段为空间曲线弧的情形．即若f(x,y,z)在曲线弧L上对弧长的曲线积分nLf(x,y)ds＝limf(i,i)si． 0i1nf(x,y,z)ds Liii其中f(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段． 2．性质性质：与二重积分的性质相类似 42

＝lim 0f(,,i1)si． (简要说明)．P154 二、第一型曲线积分的计算定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，（参数方程法化为定积分计算）钟大约 20 分钟大约 20 分钟 L的参数方程为 x(t), 讲 t,．  y(t). 其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数, 授且(t)(t)0,则曲线积分新在,且 22f(x,y)ds存Lf(x,y)dsf[(t),(t)]L/2(t)/2(t)dt 课注意：若L：yy(x)，x[,]，则 f(x,y)ds＝f[x,y(x)]1[y/(x)]2dx L若L：rr(),[,]，则 Lf(x,y)ds＝ r2[r/()]2d f[r()cos,r()sin] 例1（P1）例2（P1）公式曲线积分的计算公式，但在转化为定积分时，积分下限一定小于积分上限；公式可推广三元函数在空间曲线上的曲线积分的计算．可用两种方法求解。例3 求IC2y2z2ds． x2y2z21,其中C： xy小结作业

1．对弧长的曲线积分的定义——四个步骤进行 2．对弧长的曲线积分的计算——参数方程法化为定积分计算教材P190 习题11-1：3（1）（3）（5）。约 10 分钟 43

高等数学Ⅱ课程教案（22）课题教学准备教学目标第十一章曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分熟悉教案及讲稿 1．理解对坐标的曲线积分的定义 2．了解对坐标的曲线积分的性质 3．掌握对坐标的曲线积分的计算。对坐标的曲线积分的计算方法对坐标的曲线积分的定义研讨式教学内容（板书）导入讲上节学习了对弧长的曲线积分的定义、性质以及其计算方法。演示与推导由对弧长的曲线积分的定义、性质可知，对弧长的曲线积分的特点是与曲线的方向无关，有另一种曲线积分与曲线的方向有关。一、对坐标的曲线积分的概念（也称为第二型曲线积分）定义 P(x,y)dx＝limL教学重点教学难点教学方式时间约 10 分钟大约 15 分钟大约 15 分钟问题：变力沿曲线所作的功在xoy面内，质点在力． 0P(,)xiii1niini其中P(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段．类似地 Q(x,y)dy＝limLF(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j 的作用下，从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续，求该变力对质点所作的功．有 W＝ 0Q(,)yi1i．授 2．性质新 (1) 如果把L分成L1和L2，则课 LL1 lim[P(i,i)xiQ(i,i)yi]． 0i1n 说明： 1）为简便起见，常将下式合并起来，即 P(x,y)dx＋Q(x,y)dy LLPdxQdyPdxQdy＋PdxQdy； L2＝P(x,y)dxQ(x,y)dy； L(2) 设L是有向曲线弧，－L是与L方向相反的有向曲线弧，则 L2）由上定义可知：变力所作的功为 WP(x,y)dxQ(x,y)dy； LP(x,y)dxQ(x,y)dy ＝-P(x,y)dxQ(x,y)dy。 L3）上定义可推广 P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzL 44 （即第二型曲线积分与方向有关）讲二、第二型曲线积分的计算法定理 L设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续，x(t)，的参数方程为 b，则 y(t) P(x,y)dxQ(x,y)dy＝ tL当参数单调地由变到时，动点从的起点授 L 沿L运动到终点．(t),(t)在以，为端点b[P[x,y(x)]Q[x,y(x)]y(x)]dx，的闭区间上具有一阶连续导数，且新 (t) 课 L/2/2 说明： 1）若L:yy(x),x的起点为a，终点为大约 20 分钟 (t)0，则曲线积分 aP(x,y)dxQ(x,y)dy存在，且 P(x,y)dxQ(x,y)dy L 若L:xx(y),y的起点为c，终点为d，则 P(x,y)dxQ(x,y)dy＝ Ld＝[P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)]dt。（2） 2．两类曲线积分之间的联系： [P[x(y),y]x(y)Q[x(y),y]]dy； cx(t)，L上点y(t)(x,y)处的切向量的方向角为,，则设有向平面曲线弧L为PdxQdy(PcosQcos)ds． LLx(t) :y(t)2）公式（2）可推广，即若， z(t) t的起点为，终点为，则大约 PdxQdyRdz 10 分钟大约 20 分钟其中 cos(t)/2(t)/2(t)/(t)(t)(t)/2/2/＝{P[(t),(t),(t)](t) ， ＋Q[(t),(t),(t)](t) ＋R[(t),(t),(t)](t)}dt cos．可以推广到空间曲线上．例1（P196）例2（P197）例3（P197）例4（P198） 1．对坐标的曲线积分的定义小2．对坐标的曲线积分的计算结 3．两类曲线积分之间的联系作业教材P170 习题10-2：3（1）（3）。约 10 分钟

高等数学Ⅱ课程教案（23）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十一章曲线积分与曲面积分第三节格林公式及其应用熟悉教案及讲稿 1．理解格林公式 2．熟练利用格林公式计算第二型曲线积分格林公式及计算补线法格林公式的应用研讨式教学内容（板书）复习回顾第二型曲线积分的计算方法。导入讲一、格林公式单连通、复连通区域的概念定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有演示与推导在第二型曲线积分中，当积分曲线是闭曲线时，若第二型曲线积分的基本时间约 10 钟牛顿—莱布尼兹公式 b计算方法是有一定困难，这时该计算？分大约 20 分钟大约 20 分钟用曲面积分可计算区域的面积。例3（P204） 46

f(x)dxF(b)F(a) aLPdxQdy(D其中L是D的取正向的边界曲线．授注意： (1)应掌握单连通、复连通区域的边界曲线正向的规定；新 (2)格林公式是计算第二型曲线积分的重要公式,L应是闭曲线．否则，使用补线法计算； 1DSxdyydx． (3)区域的面积课

QP)dxdyxy 建立了区间上定积分与其边界上原函数值的关系。本节将此结论推广，揭示区域上积分与其边界上积分之间的关系． 2L(4)Py,Qx在D上连续，否则，在间断点处“挖//洞”，应用复连通区域上的格林公式 QPxydxdyPdxQdy． DLl 例1（P204）例2（P204）讲例4（P205）二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2 设开区域G是一个单连通区域，函数注意其解法的技巧。说明：定理中（2）、（3）结合在一起即为教材中的定理2；定理中（3）、（4）结合在一起即为教材中的定理3，称为二元函数的全微分求积可（1）（2）（3）（4）。 （1）归纳上定理的四个等价条件：以（3）作为条件来（1）、（2）或（4）。大约 20 分钟大约 20 分钟 P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则下列四条件等价：授（1）PdxQdy在G内与路径无关； L （2）对于G内任意闭曲线C,有PdxQdy0； C新  /（3）QxPy/在G内恒成立；（4）存在u(x,y)，使duPdxQdy,此时 yx课 u(x,y)P(t,y0)dtQ(x,t)dtC, 或 x0xyy0u(x,y)P(t,y)dtQ(x0,t)dtC. x0y0其中(x0,y0)为G内一个定点，C为任意常数．例5 确定的值，使曲线积分 B(xA44xy)dx(6x1y25y4)dy 与路径无关，并求当A、B分别为(0, 0)，(1, 2)时这曲线积分的值．例6（P211）例7（P211） 1．格林公式小2．格林公式的应用结 3．平面上曲线积分与路径无关的条件作业约 10 分钟教材P213 习题11-3：1（2），2（1），5（1）（4），6（4）。

高等数学Ⅱ课程教案（24）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入一、对面积的曲面积分的概念与性质定义设函数f(x,y,z)在光滑曲面上有界．把复习回顾两种曲线积分的定义以及计算方法。第十章曲线积分与曲面积分第四节对面积的曲面积分熟悉教案及讲稿 1．理解对面积的曲面积分的概念 2．掌握对面积的曲面积分的计算方法对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的定义研讨式教学内容（板书）演示与推导多元函数的积分除曲线积分外，还有曲面积分，对曲面积分而言，也分为两种。问题的提出：设曲面是可求面积的光滑曲面（所谓曲面是光滑的，是指曲面上各点处都具有切平面，当切点在曲面上连续移动时，切平面也连续转动的平面），其面密度函数为f(x,y,z)，求的质量. 应用“分割、代替、求和、取极限”的方法：时间约 10 分钟大约 20 分钟 任意分成n个小块s1,s2,,sn，并用si表示第i个小块的面积，i1,2,,n．任取(i,i,i)si，i1,2,,n，作和式f(i,i,i)si．如果不论对曲面怎样划i1讲分，也不论在小块si上点(i,i,i)怎样选取，只要当各个小块曲面的直径（曲面的直径是指曲面上任意授两点间距离的最大者）的最大值新课

nMlimf(i,i,i)si. 0i1n 说明： 1）当被积函数f(x,y,z)在光滑曲面上连续时,则第一型曲面积分0时，f(,,iii1ni)si的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在光滑曲面上对面积的曲面积分或第一型曲面积分，记为f(x,y,z)dS总存在，今后总假定f(x,y,z)dS．即 n0iiif(x,y,z)在上连续； 2）由定义，面密度为连续函数f(x,y,z)光滑曲面的质量M例6为 f(,,f(x,y,z)dSlimi1)si．其中f(x,y,z)称为被积函数，称为积分曲面． 48

Mf(x,y,z)dS；  3）当是分片光滑，规定函数在上的第一型曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上的第一型曲面积分之和； 4）由定义第一型曲面积分性质与第一型曲线积分性质类似这里从略； 5）由定义当f(x,y,z)1时，第一型曲面积分表面积． dS表示空间曲面的 讲（1）若{(x,y,z)(x,y)D,zz(x,y)}，则 xy 授二、第一型曲面积分的计算（投影法化为二重积分计算）例如 22:x2y2a22． dS4a 大约 30 分钟大约 30 分钟约 10 分钟 f(x,y,z)dS （2）若{(x,y,z)(y,z)Dyz,xx(y,z)}，则新课 Dxyfx,y,z(x,y)1zxzydxdy22f(x,y,z)dS （3）若{(x,y,z)(x,z)Dxz,yy(x,z)}，则 Dyzfx(y,z),y,z)1xyxzdydz投影面与相应的二重积分。注意面积的曲面积分与二重、三重积分的差异。 f(x,y,z)dSDxzfx,y(x,z),z1yxyzdxdz22 说明：（1）与二重、三重积分不同，对面积的曲面积分的动点(x,y,z)取在曲面上，且与x,y,z有联系．（2）使用投影法计算，当:zf(x,y)时，dS1z/2xzdxdy，其余类似．若平行于z/2y轴，则只能投影到yoz面或xoz面．特别地，若平行于z轴及y轴，则只能投影到yoz面．例1（P217）例2（P218）小结作业

1．对面积的曲面积分的定义 2．对面积的曲面积分的计算——投影法化为二重积分计算教材P219 习题11-4：4（2），5（1），7。 49

高等数学Ⅱ课程教案（25）

课题教学准备教学目标第十一章曲线积分与曲面积分第五节对坐标的曲面积分熟悉教案及讲稿 1．理解对坐标的曲面积分的定义 2．了解对坐标的曲面积分的性质 3．掌握对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的定义研讨式教学内容（板书）导入复习回顾对面积的曲面积分的定义及其计算方法。演示与推导曲面积分与曲面的方向无关，而另一种曲面积分与曲面的方向有关。 1、流量问题：设稳定流动(所谓稳定流动,就是说,流速与时间无关)的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由 V(Mi)时间 10 分钟大约 25 分钟由对面积的曲面积分的定义可知，约教学重点教学难点教学方式一、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）的概念与性质通常我们所遇到的曲面都是双侧的，也有单侧的，如将长方形的纸条的一端扭转1800，再与另一端粘合起来，就是单侧曲面．我们只讨论双侧曲面．对双侧曲面需指定曲面的侧，可由曲面上法向量来定出曲面的侧，选定了侧的曲面称为有向曲面．本节讨论的曲面都是光滑的有向曲面．讲 1．定义：设为有向光滑曲面，函数R(x,y,z)在则函数R(x,y,z)在有向光滑曲面上对坐上有界，标x,y的曲面积分定义为授 n  新其中是各小块曲面Si的直径的最大值． 2．性质当对坐标的曲面积分存在时，其性质有：课 (1) PdydzQdzdxRdxdy P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k 给出, 是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都在上连续,求在单位时间内流向指定侧的流体的质量,即流量．说明：类似地可以定义函数P(x,y,z)在有向光滑曲面上对坐标 iR(,,R(x,y,z)dxdylim0iii1i)(Si)xyy,z的曲面积分及函数Q(x,y,z)在上对坐标z,x的曲面积分分别为： P(,,P(x,y,z)dydzlim0iii1nn ))(Siyz大约 15 分钟 12

＝PdydzQdzdxRdxdy 1Q(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,i)(Si)zx0i1＋(2) PdydzQdzdxRdxdy； 2 PdydzQdzdxRdxdy ＝－PdydzQdzdxRdxdy 其中表示曲面的正向侧面，而表示与相反侧的有向曲面． 50

 注意： 3．两类曲面积分的联系 PdydzQdzdxRdxdy dxdycosdS，大约 20 分钟＝(PcosQcosRcos)dS (思考这是为什么？) dydzcosdS dzdxcosdS 其中cos,cos,cos表示所取侧的法线向量的讲方向余弦．二、第二型曲面积分的计算(投影法) (1) 曲面是由方程zz(x,y)给出的曲面上授侧，在xoy面上的投影区域为D，函数z(x,y)在 xy 连续，则有新课 Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在R(x,y,z)dxdyR(x,y,z(x,y))dxdyDxy 注意： ①求对坐标x,y的曲面积分，必须将投影到xoy面上，化为对x,y的二重积分，若与xoy面垂直，则投影为零，对坐标x,y的曲面积分为零． ②zz(x,y)应为单值函数，否则，需分为上下两片曲面分别进行投影计算． ③求对坐标z,x或y,z的曲面积分与此类似． (上侧投影为正) 若曲面积分取在的下侧，则有 Dxy R(x,y,z)dxdyR(x,y,z(x,y))dxdy(下侧投影为负) (2) 曲面是由方程yy(x,z)给出，则有 Q(x,y,z)dzdxQ(x,y(x,z),z)dzdxDxz(右侧投影为正,左侧投影为负) (3) 曲面是由方程xx(y,z)给出，则有 P(x,y,z)dydzP(x(y,z),y,z)dydzDyz(前侧投影为正,后侧投影为负) 例1（P225）例2（P226）例3（P228）小结作业

大约 20 分钟约 10 分钟 1．对坐标的曲面积分的定义 2．对坐标的曲面积分的性质 3．对坐标的曲面积分的计算——投影法教材P228 习题11-5：3（1）（2）。高等数学Ⅱ课程教案（26）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入第十一章曲线积分与曲面积分第六节高斯公式通量与散度熟悉教案及讲稿 1．理解高斯公式 2．掌握利用高斯公式计算第二型曲面积分高斯公式及应用补面法高斯公式的应用研讨式教学内容（板书）演示与推导在对坐标的曲面积分中，若曲面为时间约 10 分钟讲授新或一、高斯公式定理1 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，三元函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。大约 20 分钟大约 20 分钟让学生了解对坐标的曲面积分在物理上的应用。大约 20 分钟复习回顾两种曲面积分的计算方法——投影法。闭曲面时，如何作投影？与格林公式类似有相应的方法。 上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式 PQRxyzdv ＝PdydzQdzdxRdxdy （1） PQR xyzdv  /＝(PcosQcosRcos)dS （1） cos、其中是的边界曲面的外侧，cos、cos是上点(x,y,z)处的法线向量的方向余弦。例1（P231） 1）高斯公式是计算第二型曲面积分的重要公式，建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系． 2）若非封闭曲面，则补面后，才能使用高斯公式．课

例2（P231）例3（P232）二、通量与散度 1．通量设有向量场 A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k 其中P、Q、R均具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(x,y,z)处的单位法向量，52

则积分大约 20 分钟 AndS  讲量），记为，即 称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量（或流AndS。  由两类曲面积分的关系，通量又可表为 AndS＝AdS 授新 ＝PdydzQdzdxRdxdy，  课２．散度设有速度场例4 （P234） v(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k 其中P、Q、R均具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(x,y,z)处的单位法向量，则单位时间内流体经过曲面流向指定侧的流体总量为 vndS＝vdS n＝PdydzQdzdxRdxdy， 为简便起见，把高斯公式改写成 PQRxyzdv＝vndS， 则散度为： divAPQR。 xyz约 10 分钟小结作业例5（P236）高斯公式及其应用教材P236 习题11-6：1（4），3（1）（3）

高等数学Ⅱ课程教案（27）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十一章曲线积分与曲面积分第七节斯托克斯公式环流量与旋度熟悉教案及讲稿 1．理解高斯公式 2．了解斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式研讨式教学内容（板书）我们知道，高斯公式表达了空间闭区域上三重积导分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。也有这样曲线积分联系起来．一、斯托克斯公式定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是侧符合右手规则，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，入的公式把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的演示与推导在对坐标的曲面积分中，若曲面为闭曲面时，如何作投影？与格林公式类似有相应的方法。时间约 10 分钟斯托克斯(Stokes)公式是格林公式的推广．格林公式表达了平面闭区域上大约 30 分钟注意解释上行列式的含义。由两类曲面积分间的联系，斯托克斯公式又可写成以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 讲阶连续偏导数，则有 R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域具有一上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来． RQPR＋dydzdzdx＋ yzzx 授 QP＋xydxdy  新课

＝PdxQdyRdz 此公式叫做斯托克斯公式．为了便于记忆，斯托克斯公式可写成 dydzdzdxdxdy＝PdxQdyRdz。 xyzPQR 54

cosxPcosyQcosdS zR＝PdxQdyRdz。 其中n{cos,cos,cos}为有向曲面的单位法向量。例1利用斯托克斯公式计算曲线积分由两类曲面积分间的关系，环流量又可表为大约 30 分钟大约 25 分钟 zdxxdyydz． 其中为平面xyz1被三个坐标面所截得的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向讲量之间符合右手规则．授例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分  新其中是用平面xyz3截立方体：0x1，2 0y1，0z1的表面所得的截痕，若从Ox轴I(y2z2)zdx(z2x2)dy(x2y2)dz．课的正向看去，取逆时针方向．二、环流量与旋度 1．环流量设有向量场 A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k 其中P、Q、R均连续，是A的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，是在点(x,y,z)处的单位切向量，则积分 Ads 称为向量场A沿有向闭曲线的环流量。 Ads=Adr 2．旋度 rotA＝ RQPRQPj＋＋iyzzxxyk  例3 （P243）斯托克斯公式 =PdxQdyRdz。 约 5 分钟小结作业

教材P245 习题11-7：2（1），3（1）。 55

高等数学Ⅱ课程教案（28）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入讲一、本章小结（一）二类曲线积分的概念及性质概念及性质与定积分类似。（二）二类曲线积分的计算法 1．对弧长的曲线积分主要是参数化法； 2．对坐标的曲线积分主要有：（1）直角坐标法；（2）参数化法。但一定要注意：“起点”对应下限，“终点” 对应与学生一起复习回顾，并强调注之处。用极坐标计算，但应注意换元后的符号。 56

第十一章曲线积分与曲面积分第十一章小结与习题课熟悉教案及讲稿复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识掌握线、面积分的计算线、面积分的计算研讨式教学内容（板书）演示与推导时间大约 40 分钟上限。授（三）二类曲线积分的关系（四）格林公式新课

1．格林公式说明曲线积分与二重积分的关系； 2．利用格林公式计算曲线积分； 3．平面曲线积分与路径无关的条件。（五）二类曲面积分的概念及性质概念及性质与定积分类似（六）二类曲面积分的计算法投影化法（七）二类曲面积分的关系（八）高斯公式与斯托克斯公式 1．高斯公式说明空间闭曲面的积分与三重积分的关系； 2．斯托克斯公式说明空间闭曲线的积分与曲面积分的关系；讲二、典型例题例1 计算(esiny2y)dx(ecosy2)dy， L xx 大约 60 分钟 222直接计算将非常困难，补线再利用格林公式计算。添加辅助曲面：其中L为上半圆周(xa)2y2a2(y0)，沿逆时授方向。 P246。3（5）题新课其中为锥面z解：略。a 例2 计算 222(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy， 2 1{(x,y,z)zh,xyh}，应用高斯公式计算。此例可用二法求解：法一：化积分直接计算。法二：利用斯托克斯公式计算。 xy22(0zh)的外侧。 P247。4（2）题解：略。4h 4例3 求力Fyizjxk沿有向闭曲线L所作的功，其中L为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从z轴的正向看去，沿顺时针方向。 P247。11题解：略。A 小结作业

课后自已将本章知识梳理一下。 1 129 高等数学Ⅱ课程教案（29）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入将数列的项按原来顺序并用加号连接起来，其结果为何？一、常数项级数的概念定义1 级数定义仅仅只是一个形式化的定义，它未明确无限多个数量相加的意义．无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来，因为，这一累加过程是无法完成的．为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念．称sn为级数(1)的部分和．定义2 当n无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限s，即 limsns n第十二章无穷级数第一节常数顶级数的概念和性质熟悉教案及讲稿 1．理解常数顶级数。 2．掌握常数顶级数的性质。常数顶级数的概念常数顶级数的性质研讨式教学内容（板书）回顾数列的的概念与性质。演示与推导时间约 10 分钟大约 15 分钟大约 30 分钟  讲授 unu1u2un， n1其中第n项un叫做级数的一般项．作级数(1)的前n项之和 snu1u2un (2) 例1中级数称为等比级数，又称几何级数，它是一重要级数。 58 则称级数(1)收敛，这时极限s叫做级数(1)的和，并新记作 su1u2u3un；课如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散．当级数(1)收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，它们之间的差值 rnssnun1un2unk 叫做级数的余项．例1（P230）例2（P231）例（P231）二、收敛级数的基本性质 kun如果级数：un收敛于和s，则级数性质1：n1n1讲（其中k为常数）也收敛，且和为ks．授性质2：设有二级数 重要结论级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不变．据性质二，可得几个有用的结论 1．若大约 20 分钟 un1n、vn1n分别收敛于和s与un1nn与vn1n收敛，则  ，则级数(unvn)也收敛，且和为s．新 n1(un1vn)unvn n1n1性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性．课性质4：将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和．说明： 1．如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散． 2．收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛．性质5(级数收敛的必要条件)：级数条件是limun0． n uvnn1n1n(unvn) n12．若收敛un1n，而vn1n发散，则大约 15 分钟 (unvn)必发散． n1un1n收敛的必要3．若un、vn均发散，那么n1n1必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件．著名反例：讨论调和级数：1的敛散性．这里，limunn(un1nvn)可能收敛，也可有发散． 111 23nlim10，即调和级数的一般项趋nn近于零．但它是发散的．小结作业

教材P254 习题12-1：1（1）（3），2（2）（4），3（2）。 1．常数项级数的概念 2．收敛级数的基本性质约 10 分钟高等数学Ⅱ课程教案（30）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入一、正项级数及审敛法正项级数的概念定理1 正项级数第十二章无穷级数第二节常数项级数的审敛法熟悉教案及讲稿掌握正项级数的比较审敛、比值审敛法和根值审敛法以及交错级数的审敛法比值审敛法和根值审敛法正项级数的比较审敛研讨式教学内容（板书）问散？由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题，因此，正项级数的敛散性判定就显得十分地重要．演示与推导时间约 10 分钟大约 15 分钟 n复习回顾常数项级数的概念和基本性质。 n11n1n是收敛还是发 un收敛的充要条件是它的部n1分和数列｛sn｝有界．定理2(比较法)设二正项级数讲 unvn(n1,2,)，授新课

un1n、vn1n，且借助正项级数收敛的基本定理，我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法．大约 30 分钟 (1)若vn1n收敛，则un1收敛；由于级数的每一项同乘以一个非零常数k，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式例1中的级数称为P－级数，它是一个重要的比较级数，在解题中会经常用到．将级数与P－级数比较可得其它的一些审敛法。比较审敛法还可用其极限形式给出，而极限形式在运用中更显得方便． 60

(2)若un发散，则vn发散． n1n1 推论（比较审敛法一般形式）例1（P257）例2（P257）定理3：（比较审敛法的极限形式）例3（P258）例4（P260）定理4（比值审敛法）讲授新课例5（P260）例6（P261）定理5（根值审敛法）定理6（极限审敛法）例7（P261）例8（P261）二、交错级数及其审敛法所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的。定理7（莱布尼茨定理）三、绝对收敛与条件收敛设有级数将所给正项级数与等比级数比较，可得莱布尼茨定理即为交错级数审敛法。大约 20 分钟大约 15 分钟 un=u1u2un (2) n1其中un(n1,2,)为任意实数，则称该级数为任意项级数．定义：若un1n收敛，则称un1n绝对收敛；若定理7将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定．关于绝对收敛有两个性质，此二性质了解即可。 un发散，而un收敛，则称un条件收敛。 n1n1n1定理8：如果级数un1n绝对收敛，则级数un1n亦收敛．四、绝对收敛级数的性质定理9（绝对收敛级数具有可交换性）定理10（绝对收敛级数的乘法）小结作业

约 1．正项级数的比较审敛、比值审敛法和根值审敛法； 2．交错级数的概念及其审敛法。教材P268 习题12-2：1（1）（3），2（2）（3），3（1）（2），5（1）。 10 分钟高等数学Ⅱ课程教案（31）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入一、函数项级数的概念复习回顾常数顶级数。第十二章无穷级数第三节幂级数熟悉教案及讲稿掌握幂级数的概念及其和函数的性质幂级数的概念及其和函数的性质幂级数和函数性质研讨式教学内容（板书）当级数的项为函数时，此时级数如何呢？演示与推导时间约 10 分钟大约 20 分钟讲授函数项级数un(x)、收敛点、发散点、收敛n1域、发散域、和函数。二、幂级数及其收敛域函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是anxn 或 an(xx0)n， n0n0an0n(xx0)n是幂级数的一大约 20 分钟般形式，作变量代换txx0可以把它化为anxn的形式．故不作特殊n0其中常数a0,a1,a2,,an,称作幂级数系数． 1．幂级数的收敛域、发散域的构造新定理1(阿贝尔定理) 课 axn当xx(x0)时收敛，则若幂级数

说明，用幂级数anxn作为讨论的n0n0n00适合不等式xx0的一切x均使幂级数绝对收敛；若幂级数对象．阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构。注意收敛区间的构成。注意：加，减运算前后的幂级数的收敛半径的差异。注意：定理2中的幂级数an0nxn当xx0时发散，则适合不等式xx0的一切x均使幂级数发散. 推论：（P271）定理2（关于收敛半径的定理） 62

anxnn0 讲授新课例1（P273）例2（P273）例3（P273）例4（P274）例5（P274）三、幂级数的运算性质 1．加，减运算 2．幂级数和函数的性质性质1（和函数的连续性）注：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非常有用，如下例例6：求数项级数表明不缺项。先用于定理确定收敛半径，再确定收敛域。此例中的幂级数是缺项，不能直接用。三个性质的大前题是收敛半径大于0，利用这些性质再结合一些已知的幂级数来求一些未知幂级数的和函数。注意：逐项求导与逐项求积分前后的幂级数的收敛区间未必相同。大约 20 分钟大约 20 分钟 11111(1)n1 234n之和．性质2（逐项求导）性质3（逐项求积分）例7（P276例6）小结作业

幂级数的相关概念及其和函数的性质约 10 分钟教材P277 习题12-3：1（3）（5），2（3）。高等数学Ⅱ课程教案（32）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式导入讲一、泰勒级数函数f(x)在点x0处泰勒级数的概念。函数f(x)在点x0处泰勒展开式的概念。定理：（函数能展成泰勒级数的条件）函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域能展成泰勒级数的充要条复习回顾幂级数的及其和函数性质。第十二章无穷级数第四节函数展开成幂级数熟悉教案及讲稿 1．熟记几个初等超越函数展成马克劳林级数； 2．会将一些简单函数展成马克劳林级数幂级数的概念及其和函数的性质幂级数和函数性质的应用研讨式教学内容（板书）演示与推导幂级数的和函数有三大性质。但在许多应用中，却有相反的问题，即给予定一函数将其展开成幂级数。就是它的另一种精确的表达式．即 f(x)f(x0)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2 1!2!时间约 10 分钟大约 30 分钟授件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即新课

limRn(x)0(xU(x0))． n当limRn(x)0时，函数f(x)的泰勒级数 nf(x0)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2 1!2!f(n)(x0)(xx0)n n!命题函数的麦克劳林展开式是唯一的。将函数f(x)在xf(n)(x0)(xx0)n n!x0处展开成泰勒级数，可通过变量替换txx0，化这时，我们称函数f(x)在x级数． x0处可展开成泰勒归为函数 f(x)f(tx0)F(t) 在 t 大约 50 分钟 0处的麦克劳林展开．因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开．特别地，当x0讲授 0时， f(0)f(0)2xx1!2!f(n) 直接法将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行：一、求出函数的各阶导数及函数值 f(x)f(0)(0)nx n! 这时，我们称函数f(x)可展开成麦克劳林级数．新二、函数展开成幂级数课函数展开成幂级数有两种方法： 1．直接法（利用上定理） 2．间接法（利用已知幂级数及幂级数的相关性）例1（P280）例2（P281）例3（P282）例4（P282）例5（P283）例6（P283） f(0),f(0),f(0),,f(n)(0), 若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；二、写出麦克劳林级数 f(x)f(0)f(0)f(0)2 xx1!2!f(n)(0)nx n!并求其收敛半径R. 三、考察当x(R,R)时，拉格朗日余项 Rn(x)f(n1)(x)n1x(01) (n1)!当n时，是否趋向于零. 若limRn(x)0，则第二步写出的级数n就是函数的麦克劳林展开式；若limRn(x)0，则函数无法展开成麦n克劳林级数．间接法将函数展开成幂级数要熟记一些常见的展开式。 1．直接法、间接法将函数展开成幂级数小结作业

x2．函数e，sinx，cosx，(1x)，ln(1x)的幂级数展开式约 10 分钟 教材P285 习题11-4：2（2）（3），5。高等数学Ⅱ课程教案（33）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十二章无穷级数第五节函数的幂级数展开式的应用熟悉教案及讲稿理解函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用研讨式教学内容（板书）口述前面知道了函数展成幂级数的两种方法：直接法导入讲授新与间接法。从而可以利用函数的幂级数展开式作一些应用。一、近似计算利用函数的幂级数展开式，可用它来作近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可近似地利用这个级数按精确度要求来计算。 5演示与推导函数的幂级数展开式有什么的应用呢？时间约 10 分钟分析：例1：由 15 大约 30 分 1240=52433314，钟例1 计算240的近似值，要求误差不超过0.0001。 3 5可得240级数表例2 计算ln2的近似值，要求误差不超过0.0001。在利用二项展开式，5240近似式，示式，根据误差要求，取3x0 例3 利用sinxx，求sin9的近似值，并估最后计算即得。 3! 5例2：在计误差。二、计算定积分利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值，而且可计算一些定积分的近似值。即若被积函数在积分区间上能ln(1x)的展开式中，取x1。例3：利用大约 20 分钟 sin90sin202013!203 展成幂级数，则把这幂级数逐项积分，用积分后的级数就课可算出定积分的近似值。

计算，再估计误差。例4：将e的幂级数展开式中的xx例4 计算积分2xe要求误差不超换成x2，得ex2的幂级数展开式，再dx的近似值，012 2逐项积分，最后再估计误差。例5：由sinx的幂级数展开式，进过0.0001（取10.519）。 1例5 计算积分sinxsinxdx的近似值，要求误差不超过而得的幂级数展开式。 xx0 66

0.0001。三、求常数项级数的和由所给常数项级数的特点，构造一幂级数。求此幂级数的和函数，所给常数项级数的即为此幂级数的和函数的大约 10 分钟  极限。讲例5 求级数授四、微分方程的幂级数解法并求其和函数，再和函数的极限即得。大利用幂级数函数的展开式也可求微分方程的解。约 dy例6 求方程xy2 满足yx00的特解。新 15 dx分定理（P290）钟例7 求微分方程 yxy0满足初始条件课例7：由定理求解。 yx00，yx01的特解。五、欧拉公式若有复数zxiy，由欧拉公式 ecosxisinx 有 z(cosisin)e，其中z是z的模，argz是z的辐角。 ixi2n1的和。 n2n12n12n2x例5：构造幂级数，n2n1 ix 大约 10 分钟由ecosxisinx，有 eixcosxisinx，从而有 eixeixeixeixcos，sin。 22 函数的幂级数展开式在近似计算、计算定积分、求常数项级数的和、微分方程的幂级数解法的小结作业

约 5 分钟应用教材P293 习题12-5：1（1），2（2），4（1）。高等数学Ⅱ课程教案（34）课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十二章无穷级数第七节傅里叶级数熟悉教案及讲稿 1．掌握傅里叶级数的相关概念及其性质； 2．会将简单函数展成傅里叶级数。傅里叶级数的相关概念及其性质将简单函数展成傅里叶级数研讨式教学内容（板书）除幂级数是一类特殊的函数项级数，而另一类特导入讲授一、三角级数三角函数系的正交 1．三角级数定义1 （三角级数） 2．三角函数系及其正交性定义2 （三角函数系） 3．三角函数系性质： (8个) 二、函数展成傅里叶级数设f(x)是周期为2的周期函数，且能展成三角级a0(akcoskxbksinkx) 数：f(x)2k1演示与推导时间约 10 分钟殊的函数项级数为傅里叶级数。注意：2是三角函数系中每个函数的周期．因此, 我们仅在区间[-,]上讨论三角函数系．三角函数系(1)中任意两个函数之积在[-,]的定积分是0, 而每个函数的平方在[-,]的定积分不是0．三角函数系的这个性质称为正交性．为了讨论这个问题, 不妨假设级数在[-,]可逐项积分, 并且乘以大约 10 分钟大约 10 分钟大约 10 分钟那么级数（3）的系数与函数f (x)有什么关系呢? 新定义3 （傅里叶系数）定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）课设f(x)是周期为2为周期函数，若它满足：

sinnx或cosnx之后仍可逐项微分．分别给出a0,an,bn计算的推导。若f(x)在[-,]可积, 我们总能形式地作出f(x)的傅立叶级数（4）．于是, 产生了两个问题： 1) f(x)的傅里叶级数(4)在[-,]是否收敛? 2) 若f(x)的傅里叶级数(4)在[-,]收敛, 那么它是否收敛于f(x)? 遗憾的是这两个问题的答案都是否定的, 即f(x)的傅里叶级数(4)可能（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)，当x是f(x)的间断点时，级数收敛于 1[f(x0)f(x0)]． 268

讲例1 （P306）例2 （P307）例3 （P309）在[-,]发散, 即使傅里叶级数(4)在[-,]收敛, 它也不一定收敛于大约 20 分钟大约 10 分钟大约 20 分钟 f(x)．那么f(x)在什么条件下, 它的傅里叶级数(４)在[-,]收敛，并且就收敛于f(x)呢? 这是傅里叶级数的理论问题之一．函数展成傅里叶级数的函数要比可展成幂级数的函数要广泛得多．授三、正弦级数和余弦级数新课 ( n =1, 2, 3, …) 2．当f(x)为偶函数时，则 1．当f(x)为奇函数时，则 an11f(x)cosnxdx0 ( n = 0, 1, 2, …) 2说明：若f(x)只在区间[-,]上有定义，且满足收敛定理的条件，则bnf(x)sinnxdx0f(x)sinnxdx f(x)也可展成傅里叶级数，这时只需作周期延拓．若f(x)为奇函数，则它的傅里叶级数只含正弦函数项的正弦级数 an1f(x)cosnxdxf(x)cosnxdx 02bn1nsinnx； ( n = 0, 1, 2, …) 若f(x)为偶函数，则它的傅里叶级数只含余弦函数项的余弦级数 a0ancosnx． 2n1bn1f(x)sinnxdx0 ( n =1, 2, 3, …) ．例4 （P311）例5 （P311）例6 （P313）有时需将f(x)在[0,]展成傅立叶级数，为便于计算傅立叶系数, 将f(x)开拓到(, 0), 使其开拓后的函数在(-,)是奇函数（这时, an0）或偶函数（这时, bn0），即所谓f(x)的奇开拓或偶开拓, 也称f(x)的奇式展开或偶式展开小结作业

1．傅里叶级数的概念与收敛定理及其应用； 2．正弦级数和余弦级数。教材P315 习题11-7：1（3），2（2），6。约 10 分钟高等数学Ⅱ课程教案（35）

课题教学准备教学目标教学重点教学难点教学方式第十二章无穷级数第八节一般周期函数的傅里叶级数熟悉教案及讲稿 1．掌握一般周期函数的傅里叶级数； 2．了解傅里叶级数的复数形式。将一般周期函数展成傅里叶级数将一般周期函数展成傅里叶级数研讨式教学内容（板书）收敛定理给出了周期为2为周期函数其傅里叶导入讲授新级数展开式，奇、偶函数的傅里叶级数展开式特殊的形式。一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数为演示与推导当函数为一般周期函数时，是否可展成傅里叶级数，若能，其傅里叶级数展开式为何？周期为2l的周期函数的傅里叶级数，前面讨论可知，其方法是作变量替换, 将以2l为周期的周期函数换成以的方法展开．设x =时间约 10 分钟大约 30 分钟当f(x)为奇函数时，f(x)la0nxnxf(x)ancosbnsin， 2为周期的新的周期函数, 再按已知2n1ll1nxdx ( n = 0, 1, 2, …) ，其中anf(x)coslll1nxbnf(x)sindx ( n =1, 2, 3, …)； lllllly, 即y =lx, 代入l y))=(y)．令f(x)=f(f(x)之中，则(y)是以2为周期的周期函数．从而(y)按收敛定理展成傅里叶级数，再换回原变量即可。 bnsinn1nx， l 课其中b2nl

0f(x)sinnxdx ( n =1, 2, 3, …)； la0nxancos， 2n1l当f(x)为偶函数时，f(x)l其中an 2nxf(x)cosdx ( n = 0, 1, 2, …) ． l0l0,2x0,例1 将f(x)=（p是不为0的p,0x2,70

常数）展成傅里叶级数．此例的周期为4。一般了解。详细的说明见（P320）大约 30 分钟大约 20 分钟讲弦级数(即奇式展开)。授二、傅里叶级数的复数形式新课 1,0xa2,例2 将f(x)=( a > 0)展成正a1,xa,2设周期为2l的周期函数f(x)的傅里叶级数为 a0nxnxf(x)ancosbnsin， 2n1ll1nx其中anf(x)cosdx ( n = 0, 1, 2, …) ， lllbn1nxf(x)sindx ( n =1, 2, 3, …)； lllll由欧拉公式 eiteiteiteitcost，sint， 2i2上展开式化为傅里叶级数的复数形式 nxlncnei 例3 （P321）小结作业

1．函数展成正弦级数或余弦级数； 2．周期为2l的周期函数的傅里叶级数教材P322 习题12-8：1（1），2（1）。约 10 分钟高等数学Ⅱ课程教案（36）

课题教学准备教学目标教学重点第十二章无穷级数第十二章小结与习题课熟悉教案及讲稿复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识 1．理解常数项级数、函数项级数的相关概念； 2．掌握正项级数敛散性的判别法、幂级数和函数的性质； 3．能求幂级数的和函数； 4．能将函数展成幂级数与傅里叶级数。教学难点教学方式导入讲一、本章小结（一）常数项级数、函数项级数的相关概念及性质（二）正项级数的审敛法 1．比较审敛法；2．比值审敛法；3．根值审敛法（三）交错级数的审敛法（四）一般常数项级数 1．条件收敛与绝对收敛； 2．绝对收敛的性质。与学生一起复习回顾，并强调注之处。 72 求幂级数的和函数、傅里叶级数系数计算研讨式教学内容（板书）演示与推导时间大约 40 分钟（五）幂级数授 1．幂级数的相关概念 2．收敛半径与收敛的确定；新课 3．幂级数和函数的性质； 4．函数展成幂级数； 5．函数的幂级数展开式的应用。（六）傅里叶级数 1．傅里叶级数的相关概念； 2．三角函数系的正交性； 3．函数展成傅里叶级数； 4．正弦级数与余弦级数； 5．一般周期函数的傅里叶级数。讲授新课二、典型例题例1 判别下列级数敛散性：（1）题用比较审敛法判别；（2）题用收敛级数的必要条件判别；（3）题用比值审敛法判别，并需讨论。用比较审敛法证明。大约 60 分钟 (n!)2（1）；（2）； 2nn12nn1nn1a（3）s(a0,s0) n1nP322。2（1）（2）（5）题解：略。（1）发散；（2）发散；例2 设正项级数nun1n、vn1n都收敛，证明级数(un1nvn)也收敛。 2P323。3题例3 求幂级数2n12(n1)x的和函数。 n2n1 先求收敛半径（但注意由于幂级数缺项，故不能用定理去求），再先逐项求积分后逐项求导即可。 P323。8（1）题解：略。s(x)2x,x(2,2) 22(2x)2 例4 将函数1展成x的幂级数。 (2x)211因,x2， 2(2x)2xP323。10（2）题解：略。2n1nn1xn1,x(2,2) 1111x而 x2x2122n021n＝n1x,x(2,2)， n02上式逐项求导即得。 n 小结作业

课后自已将本章知识梳理一下。 73

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