《高数Ⅰ》教案

课程名称 高等数学Ⅰ

授课班级 计算机科学系

授课时间 授课学时 授课教师 教学系部 数学系 教 研 室 高等数学

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第一次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第一节 映射与函数 查阅“计算机与数学的联系”的相关资料 1. 了解数学与计算机的联系； 2. 理解映射与函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备。 重点：映射与函数的概念，中学所学的函数的性质 难点：映射与函数的概念 讲授、交流讨论 1

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1. 提问： （1） 经过12年的学习，你对数学是怎样认识？ （2） 数学与素质教育的关系怎样？ （3） 数学与计算机有什么样的联系？ 2. 集合概念与运算 教 学 过 程 （1） 集合、元素、子集、空集、平凡子集、属于、包含 （2） 交、并、补及满足的运算规律 （3） 区间与邻域、去心邻域 3. 映射与函数的概念 注：与中学的概念对比来讲 4. 复习中学所学的函数的性质与六个基本初等函数，其性质与图形留作作业 5. 反函数、复合函数、分段函数的概念，并举例说明 2

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教 学 过 程 归纳小结：本次课不作归纳小结 一、数学与计算机 (一) (二) (三) 二、集合 (一) 板书计划 (二) (三) 集合、元素、子集、空集、平凡子集、属于、包含 交、并、补及满足的运算规律 区间与邻域、去心邻域 对数学的认识 数学与素质教育即数学对人发展的影响 数学与计算机的联系 三、映射与函数 (一) (二) (三) (四) 映射、单射、满射、双射（一一映射） 函数、定义域、值域、对应关系 函数的性质 六个基本初等函数 四、反函数、复合函数、分段函数的概念及例子 作业布置 习题1-1： 3，9，18 画表列出六个基本初等函数性质与图形 课后小结 3 别 《高等数学Ⅰ》教案

第二次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第二节 数列的极限 无 使学生初步了解有限与无限、精确与近似、量变到质变的辨证关系，培养学生的辩证唯物主义观点 重点：数理极限的N定义 难点：数理极限的N定义 讲授、交流讨论 4

《高等数学Ⅰ》 一、 数列极限概念的引入 1、 无穷数列： 2、引例：。 3、提出问题：通过观察有限项分析以上四个数列当项数n无限增大时，数列的项有什么变化趋势？ 教 学 过 程 二、 数列极限的定义 1. 定性描述数列极限定义： 2. 定量描述数列极限定义： 3、anA(n)的几何意义 4. 举例 [重点提示] 求N的方法是：解不等式 |xn－a|＜ε 5. 练习 5

教 学 过别 《高等数学Ⅰ》教案 程 归纳小结：定义、几何意义、定义的应用 一、数列极限概念的引入 1、 无穷数列： 2、引例： 3、结论：当项数n无限增大时，数列的项接近某个常数 二、数列极限的定义 1. （定性描述）数列极限定义： 2. （定量描述）数列极限定义： 板书计划 [定义] 对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N，使得当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立，那么，就称a是数列{xn}的极限。记作：limxna n注意：(1)不能用定义求数列的极限，只能验证某常数是否是数列的极限； (2)是任意给定的，用作表示xn与常数a无限接近； (3)N与给定的有关，一旦给定后就确定下来，否则无法确定N 3、anA(n)的几何意义是： 4、例题 作业布置 习题1-2： 3（3） 课后小结 6 《高等数学Ⅰ》

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第三次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第二节 数列的极限 无 同上 重 点：数列极限的性质、数列极限的运算 难 点：数列极限的性质 讲授、交流讨论 8

《高等数学Ⅰ》 一、收敛数列的性质 1、 2、 3、 4、 唯一性： 有界性： 收敛数列与其子数列间的关系 保号性 二、数列极限的四则运算法则 教 学 过 程 三、极限的运算 三个基本极限 运用下面介绍的三个基本极限，可以利用数列极限的运算性质把复杂的数列极限化为简单的数列极限来解。 ⑴ limn10 nn ⑵ limq0 (|q|＜1＝ n⑶ nlimcc, 即常数列的极限就是常数本身。 9

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教 学 过 程 学生练习：习题1-5：1.（12） 归纳小结：性质与运算 一、收敛数列的性质 1、 唯一性：如数列xn收敛，则极限唯一；（ba） 22、 有界性：如数列xn收敛，则数列xn一定有界； 3、 收敛数列与其子数列间的关系 4、 保号性 二、数列极限的四则运算法则 如果数列xn和数列yn的极限都存在，且 板书计划 nlimxna,limynb则 nn（1） lim(xnyn)limxnlimynab nnnn（2） lim(xnyn)limxnlimynab n lim(cxn)climxnca nnlimxnxnanlim （3） n ynlimynbn三、 三个基本极限 ⑴ lim ⑶ 作业布置 课后小结 n10 ⑵ limqn0 (|q|＜1) nnnlimcc 习题1-2：5 习题1-5：1.（11）、（13） 10 别 《高等数学Ⅰ》教案

第四次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第三节 函数的极限 无 掌握函数极限的概念 重 点：函数极限的概念。 难 点：函数极限的定义 讲授、交流讨论 11

《高等数学Ⅰ》 复习： 1、 数列极限的定义、性质； 2、 无穷与有限的理解；（参见阅读资料《数学无穷思想的发展历程》） 3、 介绍《芝诺悖论》 新课： 前言： 一、自变量趋于无限时的函数极限 教 学 过 程 1. x→+∞时函数的极限 2. x→-∞时函数的极限 3. x→∞时函数的极限 4、几何意义： 5、举例 二、自变量x趋于某有限值x0时的函数极限 1、[定义] 2、几何意义： 3、举例 12

三、练习 教 别 《高等数学Ⅰ》教案 学 习题1－3：5、(2) 过 程 归纳小结：函数极限概念 数列极限的定义、性质； 一、自变量趋于无限时的函数极限 研究函数f(x)图象： 1. x→+∞时函数的极限 [定义] 2. x→-∞时函数的极限 [定义] 板书计划 3. x→∞时函数的极限 [定义] 4、几何意义：图象： 例：证明：lim2x12 xx1x1 x二、自变量x趋于某有限值x0时的函数极限 1、[定义] 2、几何意义：图象： 例2 证明：limxx0 xx0x244 例3 证明：limx2x2 作业布置 课后小结 习题1-3： 5、(4) 13 《高等数学Ⅰ》

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第五次课

第一章 函数与极限 章节 第三节 函数的极限、第四节 无穷小与无穷大 第七节 学时 2 无穷小的比较 教学准备 无 1、掌握左、右极限的定义及判断函数极限的存在； 教学目的 2、理解函数极限的性质； 3、掌握无穷小与无穷大的概念、理解无穷小与无穷大的关系； 4、掌握无穷小的性质及其比较。 重点难点 授课方式 重 点：1、左、右极限的定义及判断函数极限的存在。 2、无穷小的性质及其比较 难 点：左、右极限的定义。 讲授、交流讨论 15

《高等数学Ⅰ》 一、左、右极限的定义： 1、 左、右极限的定义 2、 定理 3、 用上述定理判断函数极限的存在与否： 例1- 例3 二、关于函数极限的两个定理： （1）极限的局部保号性1及等价性质。 （2）保号性2 教 学 过 程 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 1、 [定义] 例1：lim2、定理 二、无穷大 [定义] 例如：1、limx112limx0 2、0x0n2n1limx2。  2、limlnx 3、xx0x1三、无穷小量与无穷大量的关系 [定理] 三、无穷小的阶与无穷小的比较 [定义] 例子1-3 [定理] 16

归纳小结：左、右极限的定义及判断函数极限的存在、函数极限的性教 学 质、无穷小与无穷大的概念、无穷小与无穷大的关系、掌握无穷小的过 别 《高等数学Ⅰ》教案 程性质及其比较。 一、左、右极限的定义： 1、 左、右极限的定义 2、 定理 3、 用上述定理判断函数极限的存在与否： 例1- 例3 二、关于函数极限的两个定理： （1）极限的局部保号性1及等价性质。 （2）保号性2 板书计划 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 1、 [定义] 例1：lim2、定理 二、无穷大 [定义] 例如：1、limx112limx0 2、0x0n2n1limx2。  2、limlnx 3、xx0x1三、无穷小量与无穷大量的关系 [定理] 四、无穷小的阶与无穷小的比较 [定义] 例子1-3 [定理] 作业布置 课后小习题1-3：4、11 习题1-4：4 习题1-7：3、4（4） 17 《高等数学Ⅰ》

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第六次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第五节 极限的运算法则 无 掌握用极限运算的几个法则计算函数的极限 重 点：用极限运算的几个法则计算函数的极限 难 点：用极限运算的几个法则计算函数的极限。 讲授、交流讨论 19

《高等数学Ⅰ》 一、 复习旧课 1、 左、右极限；2、无穷大与无穷小；3、函数极限的性质 二、讲授新课 1、 定理1：有限个无穷小的和仍是无穷小。 2、 定理2：有界函数与无穷小的乖积仍是无穷小。 推论1：常数与无穷小的乖积仍是无穷小。 推论2：有限个无穷小的乖积仍是无穷小。 教 学 过 程 例1：求limxsinx01 x3、四则运算法则：及推论 补充：定理3：设f(x)与g(x)在x0某邻域内有定义。如果对邻域内任意的x有f(x)g(x)，而limf(x)a，limg(x)b，则：ab xx0xx04、由引例导出：求x时的极限的规律： anbnanxa0mlim0xbxmbm05、举例： 当nm当nm 当nm20

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教 学 过 程 归纳小结： 1、 一定理1： 2、 定理2： 推论1： 推论2： 例1：求limxsinx01 x板书计划 3、四则运算法则及推论 4、定理3： 5、由引例导出：求x时的极限的规律： anbnanxa0mlim0xbxmbm05、举例： 作业布置 课后小结

习题1-5：3、（1） 当nm当nm 当nm 21

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第7次课

章节 教学准备 教学目的 第一章 函数与极限 学时 2 第六节 极限存在准则 两个重要极限 无 1、掌握两个重要极限及其应用； 2、掌握极限存在准则． 重点：1、两个重要极限的证明； 重点难点 2、极限存在准则Ⅰ、Ⅱ． 难点：1、两个重要极限的证明和应用； 2、极限存在准则Ⅰ、Ⅱ． 授课方式 讲授、交流讨论 22

《高等数学Ⅰ》 一、极限存在准则 1、准则Ⅰ：[数列]与[函数] 举例 2、准则Ⅱ： 举例 教 学 过 程 3、柯西（Cauchy）极限存在准则 二、两个重要的极限 1、lim举例 2、（1）lim(1sinx1 x0x1n)e nn1x（2）lim(1)e xx1x （3）lim(1x)e x0举例 23

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教 学 过 程 归纳小结： 一、极限存在准则 1、准则Ⅰ： [数列] [函数] 例题 2、准则Ⅱ： 板书计划 例题 3、柯西（Cauchy）极限存在准则 二、两个重要的极限 1、lim例题 2、（1）lim(1sinx1 x0x1n)e nn1x（2）lim(1)e xx1x （3）lim(1x)e x0例题 作业布置 课后小结 习题1-6：1、（5），（6）；2、（4）；4、（3） 24

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第八次课

章节 教学准备 教学目的 重点难点 授课方式 第一章 函数与极限 学时 2 第八节 函数的连续与间断 无 1、理解函数连续的概念； 2、会判断函数间断点的类型． 重点：连续的定义，间断点的分类． 难点：连续的定义，间断点的分类． 讲授、交流讨论 25

《高等数学Ⅰ》 一、函数的增量 定义： 举例 二、连续函数的概念 1、函数在点x0连续的三个等价定义 函数连续的定义包括三个方面的要求 教 学 过 程 （1）函数y＝f(x)在x0处有定义; （2）函数y＝f(x)当x→x0时有极限存在; （3）极限值与函数值f(x0)相等． 2、连续函数的定义： 3、函数f(x)在点x0的左、右连续 三、函数的间断点 1、间断点定义： 2、第一类间断点与第二类间断点 26

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教 学 过 程 归纳小结： 一、函数的增量 定义： 举例 二、连续函数的概念 1、函数在点x0连续的三个等价定义 函数连续的定义包括三个方面的要求 板书计划 （1）函数y＝f(x)在x0处有定义; （2）函数y＝f(x)当x→x0时有极限存在; （3）极限值与函数值f(x0)相等． 2、连续函数的定义： 3、函数f(x)在点x0的左、右连续 三、函数的间断点 1、间断点定义： 2、第一类间断点 第二类间断点 作业布置 课后小结 习题1－8：4、7 27

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第九次课

章节 第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算与性质 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 1、理解函数连续的概念； 2、会判断函数间断点的类型． 重点：连续的定义，间断点的分类． 难点：连续的定义，间断点的分类． 授课讲授、交流讨论 方式 28

《高等数学Ⅰ》 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算性质 1、定理1 2、定理2 3、定理3 4、定理4 5、定理5 教 学 二、初等函数的连续性 过 程 第九节 闭区间上连续函数的性质 一、 最大值与最小值定理 1、定理1： 2、定理2（有界性定理） 二、介值定理 1、定理3：(零点定理) 2、定理4：(介值定理) 29

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教 学 过 程 归纳小结： 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算性质 1、定理1 2、定理2 3、定理3 4、定理4 板书计划 5、定理5 二、初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质 一、 最大值与最小值定理 1、定理1： 2、定理2（有界性定理） 二、介值定理 1、定理3：(零点定理) 2、定理4：(介值定理) 作业布置 课后小结 习题1－9：2、6 习题1－10：2、5 30

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第十次课

章节 第一章 函数与极限 讲评作业及复习 学时 2 教学无 准备 教学理解极限的思想，掌握极限概念的简单应用。 目的 重点难点 授课讲授、交流讨论 方式 31

《高等数学Ⅰ》 一、讲评作业 二、习题课 （一）求极限 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； sinx11，lim1e； 3、利用两个重要极限：limxxx0xx教 4、利用极限存在准则； 学 过 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其程 无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现0,,等类型的未定式时，0总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 （二）蛛网模型（讨论） 在市场经济中存这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求，…… 32

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教 学 过 程 归纳小结： 一、讲评作业 二、习题课 （一）求极限 思路与方法： 举例： （二）蛛网模型（讨论） 据统计，某城市1991年的猪肉产量为30万吨，肉价为6.00元/公斤．1992年板书计划 的猪肉产量为25万吨，肉价为8.00元/公斤．已知1993年的猪肉产量为28万吨．若维持目前的消费水平与生产模式，关假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格． y yf(x) P3 xg(y)P4P2O P5 P1x 作业布置 课后小结 33

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第11次课

章节 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 学时 2 教学无 准备 教1、掌握函数导数的概念； 学目2、了解用导数的定义求函数导数． 的 重点难点 重点：函数导数的概念． 难点：函数导数的概念． 授课讲授、交流讨论 方式 35

《高等数学Ⅰ》 第一节 导数概念 一、引例： 1 瞬时速度的求法 2.切线斜率的求法 二、定义 教 学 过 程 三、几何意义 举例说明利用几何意义求切线和法线方程的方法 四、可导与连续的关系 定理1:如果函数y＝f (x)在x0处可导，则y＝f (x)在x0处连续。 f'(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x 举例说明用定义求导数的方法 36

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教 学 过 程 归纳小结： 第一节 导数概念 一、引例： 1 瞬时速度的求法 2.切线斜率的求法 板书计划 二、定义 [定义] 例1-3 三、几何意义 例4 四、可导与连续的关系 定理1:如果函数y＝f (x)在x0处可导，则y＝f (x)在x0处连续。 例5作业布置 课后小结 习题2－1：3、20 37

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第12次课

章节 第二章 导数与微分 第二节 函数的求导法则 学时 2 教学无 准备 教掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反学目函数的导数，掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法． 的 重重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法，复合函数的求导法则． 点难难点：反函数求导，复合函数的求导法则． 点 授课讲授、交流讨论 方式 第二节 函数的求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则： 举例 教 学 过 程 二、反函数的导数 举例 三、复合函数求导 举例 四、初等函数求导小结 练习及讲评 39

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教 学 过 程 归纳小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法 第二节 函数的求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则： 法则：1-4 例1-2 二、反函数的导数 板书计划 法则：1-4 例3 三、复合函数求导 法则：1-4 例4-6 四、初等函数求导小结 练习 作业布置 课后小结

习题2－2：3（3）、4、8（9）（10）10 40

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第13次课

章节 第二章 导数与微分 第三节 高阶导数 学时 2 教学无 准备 教学目的 了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数． 重重点：高阶导数的求法． 点难难点：高阶导数的归纳方法． 点 授课讲授、交流讨论 方式 42

《高等数学Ⅰ》 第三节 高阶导数 一、复习求导法则： 四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求导法则及导数公式 二、高阶导数 教 学 过 程 [定义] 举例 练习 [莱布尼茨（Leibniz）公式] 举例 练习 43

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教 学 过 程 归纳小结：本节讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法 第三节 高阶导数 一、复习求导法则： 1、四则运算法则 2、求反函数的导数的方法 3、复合函数的求导法则 板书计划 4、导数公式 二、高阶导数 [定义] 例1-4 [莱布尼茨（Leibniz）公式] 例5 作业布置 课后小结

习题2－3：1（12）3、10（2） 44

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第14次课

章节 第二章 导数与微分 第四节 隐函数的导数，参数方程的求导方法 学时 2 教学无 准备 教学目的 掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数． 重点：隐函数和参数方程确定的函数的求导方法． 重点难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求难点 导法． 授课讲授、交流讨论 方式 45

《高等数学Ⅰ》 第四节 隐函数的导数，参数方程的求导方法 一、隐函数求导 [方法] 举例 练习及讲评 教 二、取对数求导法 学 过 [方法] 程 举例 练习及讲评 三、由参数方程确定的函数的求导法练习及讲评 46

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教 学 过 程 归纳小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题 第四节 隐函数的导数，参数方程的求导方法 一、隐函数求导 [方法] 例1-2 练习 板书计划 二、取对数求导法 [方法] 例3-4 练习 三、由参数方程确定的函数的求导法练习 讲评 作业布置 课后小结

习题2－4：4（4）5（2）、6、8（4） 47

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第15次课

章节 第二章 导数与微分 第五节 函数的微分 学时 2 教学无 准备 教掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利学目用微分作近似计算． 的 重重点：微分的计算． 点难难点：微分的定义，利用微分作近似计算． 点 授课讲授、交流讨论 方式 48

《高等数学Ⅰ》 第五节 函数的微分 一、微分的定义 [定义] [微分与导数的关系] [利用微分作近似计算] 教 [几何意义] 学 过 举例 程 二、微分运算法则及微分公式表 [公式] [法则] 练习及讲评 49

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教 学 过 程 归纳小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式为以后学习积分大好基础 第五节 函数的微分 一、微分的定义 [定义] [微分与导数的关系] [利用微分作近似计算] [几何意义] 二、微分运算法则及微分公式表 板书计划 [公式] [法则] 练习 （1）yln1ex，求dy。 （2）ylnx2a2x，求dyx0。 （3）f可导，yf2x，求dy。 （4）xyyx，求dy。 （5）有一半径为R的铁球，镀上0.01cm厚的银，问大约用多少体积的银。 作业布置 课后小结 习题2－5：5、6 50 《高等数学Ⅰ》

第16次课

章节 第二章 导数与微分 讲评作业及习题课 学时 2 教学无 准备 教学目的 掌握导数与微分的计算． 重重点：导数的计算． 点难难点：复合函数求导法则． 点 授课讲授、交流讨论 方式 51

《高等数学Ⅰ》 讲评作业及习题课 一、讲评作业 二、习题课 1、 复习概念: (1)导数与微分； 教 （2）求导法则：四则运算法则，反函数求导法则，复合函学 过 数求导法则，隐函数求导法则，参数方程所确定函数的求导方法。 程 2、习题课： 习题1-17（讲授时根据学生水平及课堂时间对内容作取舍，对其中一些问题与学生交流讨论） 52

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教 学 过 程 归纳小结： 讲评作业及习题课 一、讲评作业 二、习题课 1、 概念: (1)导数 微分 （2）求导法则： 板书计划 四则运算法则， 反函数求导法则， 复合函数求导法则， 隐函数求导法则， 参数方程所确定函数的求导方法。 2、习题课： 习题 作业布置 课后小结 53

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第17次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 学时 2 教学无 准备 教理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰学目勒中值定理。 的 重重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。． 点难难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用． 点 授课讲授、交流讨论 方式 54

《高等数学Ⅰ》 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 1. 费马定理 2. 罗尔定理 举例说明罗尔定理的应用 教 学 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 过 程 拉格朗日中值定理及几何意义 举例说明其应用 三、柯西中值定理 定理及几何解释 举例说明其应用 55

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归纳小结：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值教 学 过 程 定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 注意中值定理成立的条件. 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 1. 费马定理 2. 罗尔定理 板书计划 例1-2 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 拉格朗日中值定理及几何意义 例3-4 三、柯西中值定理 定理及几何解释 例5 作业布置 课后小结

习题3－1：6、11 56

《高等数学Ⅰ》

第18次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第二节 洛必达法则 学时 2 教学无 准备 教0理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及学0目000,1,0,型未定式的极限的方法; 了解型极限的求法. 的 重重点：洛必达法则． 点难难点：理解洛必达法则失效的情况, 0,型的极限的求法． 点 授课讲授、交流讨论 方式 57

《高等数学Ⅰ》 第二节 洛必达法则 一． 1. 0000型和型未定式的解法：洛必达法则 型未定式定义及法则 教 学 举例 过 程 二．0,,00,1,0型未定式的求法 2. 型未定式定义及法则 举例说明 三、注意：洛必达法则的使用条件． 举例说明 58

别 《高等数学Ⅰ》教案

归纳小结： 1． 洛必达法则是求0型和型未定式极限的有效方法，但是非未定0式极限却不能使用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。 教 学 过 程 2． 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。 3． 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。 4． 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限. 第二节 洛必达法则 一． 1. 板书计划 0000型和型未定式的解法：洛必达法则 型未定式定义及法则 2. 型未定式定义及法则 例1-6 二．0,,00,1,0型未定式的求法 例7-11 三、注意：洛必达法则的使用条件． 例12-13 作业布置 课后小结 习题3－2：2、3 59 《高等数学Ⅰ》

第19次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第三节 泰勒公式 学时 2 教学无 准备 教学目的 理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。 重重点：泰勒中值定理。 点难难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。 点 授课讲授、交流讨论 方式 第三节 泰勒公式 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 二、泰勒中值定理 教 证明及说明 学 过 三、简单的应用． 程 举例说明 四、常用函数的麦克劳林公式 60

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结： Taylor公式在近似计算中具有非常重要的应用 第三节 泰勒公式 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 二、泰勒中值定理 1． 定理及证明 2． 定理说明1-8点 三、简单的应用． 例1-3 板书计划 四、常用函数的麦克劳林公式 x3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n2) 3!5!(2n1)!2nx2x4x6nxcosx1(1)o(x2n) 2!4!6!(2n)!n1x2x3nxln(1x)x(1)o(xn1) 23n111xx2xno(xn) 1xm(m1)2m(m1)(mn1)n(1x)m1mxxxo(xn) 2!n! 作业布置 课后小结 习题3－3：1、2 61 《高等数学Ⅰ》

第20次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 学时 2 教学无 准备 教理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区学目间和曲线的凹凸区间。 的 重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹重凸性的方法。 点难难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分点 界点。 授课讲授、交流讨论 方式 62

《高等数学Ⅰ》 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1 (函数单调性的判定法)及证明 举例说明应用 教 二、曲线的凹凸与拐点 学 过 1. 凹凸性的概念 程 2.曲线凹凸性的判定 （确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤） 证明及举例说明应用 63

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结： 曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1, 2. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1 (函数单调性的判定法)及证明 例1-6 二、曲线的凹凸与拐点 1.定义 板书计划 2.曲线凹凸性的判定定理 3. 拐点 4.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤1-4 f(x)的定义域  (1)确定函数y (2)求出在二阶导数f(x) (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 例1-6 作业布置 课后小结 习题3－4：9（6）、10

《高等数学Ⅰ》

第21次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 学时 2 教学无 准备 教理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区学目间和曲线的凹凸区间。 的 重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹重凸性的方法。 点难难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分点 界点。 授课讲授、交流讨论 方式 65

《高等数学Ⅰ》 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1 (函数单调性的判定法)及证明 举例说明应用 教 二、曲线的凹凸与拐点 学 过 1. 凹凸性的概念 程 2.曲线凹凸性的判定 （确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤） 证明及举例说明应用 66

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结： 曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1, 2. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1 (函数单调性的判定法)及证明 例1-6 二、曲线的凹凸与拐点 1.定义 板书计划 2.曲线凹凸性的判定定理 3. 拐点 4.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤1-4 f(x)的定义域  (1)确定函数y (2)求出在二阶导数f(x) (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 例1-6 作业布置 课后小结 习题3－4：9（6）、10 67

《高等数学Ⅰ》

第22次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第五节 函数极值与最大值最小值 学时 2 教学无 准备 教理解函数极值的概念，掌握函数极值和最大值、最小值的求法及其学目简单应用。 的 重重点：函数的极值概念、函数极值的判断方法和求法。 点难难点：函数极值的概念。 点 授课讲授、交流讨论 方式 68

《高等数学Ⅰ》 第五节 函数极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 1． 定义、说明、极值与水平切线的关系 2． 定理1 (必要条件) 3． 定理2 (第一种充分条件) 4． 定理２ (第一种充分条件) 教 学 过 程 5． 确定极值点和极值的步骤 举例说明应用 6． 定理3 (第二种充分条件) 举例说明应用 二、最大值最小值问题 1．极值与最值的关系 2．最大值和最小值的求法 3. 最大值、最小值的应用 69

归纳小结： 极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小别 《高等数学Ⅰ》教案 值可能大于极大值. 教 学 过 程 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得. 第一充分条件极值的判别法 要注意使用条件 第二充分条件注意最值与极值的区别 第五节 函数极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 1． 定义、说明、极值与水平切线的关系 2． 定理1 (必要条件) 3． 定理2 (第一种充分条件) 4． 定理２ (第一种充分条件) 5． 确定极值点和极值的步骤 板书计划 例1-2 6． 定理3 (第二种充分条件) 例3-5 二、最大值最小值问题 1．极值与最值的关系 2．最大值和最小值的求法 例6-7 3. 最大值、最小值的应用 例8-11 作业布置 习题3－5：10、13、15 70 《高等数学Ⅰ》

第23次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 学时 2 教学无 准备 教学目的 1、 培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。 2、 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 重点： 1、 复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数重点难点 图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 2、 曲率和曲率半径的概念 难点：曲率和曲率半径的概念 授课讲授、交流讨论 方式 71

《高等数学Ⅰ》 第六节 函数图形的描绘 一、渐近线 1． 铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线） 2． 水平渐近线（平行于x轴的渐近线） 3． 斜渐近线 教 举例说明应用 学 过 二、描绘函数图形的一般步骤 程 举例说明 第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 72

别 《高等数学Ⅰ》教案 教 学 过 程 归纳小结： 第六节 函数图形的描绘 一、渐近线 1． 铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线） 2． 水平渐近线（平行于x轴的渐近线） 3． 斜渐近线 例1 二、描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域 并求函数的一阶和二阶导数 (2)求出一阶、二阶导数为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 板书计划 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点 (6)联结这些点画出函数的图形 例2-5 第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 例1-4 三、曲率圆与曲率半径 例5 作业布置 习题3－5：10、13、15 73 《高等数学Ⅰ》

第24、25次课

章节 第三章 微分中值定理与导数应用 讲评作业及复习 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 进一步掌握本章主要概念及应用 重点：洛比达法则及导数的应用 难点：导数的应用 授课讲授、交流讨论 方式 讲评作业及复习 一、讲评作业 教 二、习题课 学 （一）复习概念： 过 程 （二）典型例题 （三）练习 74

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结： 讲评作业及复习 一、讲评作业 二、习题课 板书计划 （一）复习概念： （二）典型例题 例1-7 （三）练习及讲评 作业布置 课后小结

习题3－5：10、13、15 75

《高等数学Ⅰ》

第26次课

章节 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 重点：原函数与不定积分的概念。 难点：原函数的求法。 授课讲授、交流讨论 方式 76

《高等数学Ⅰ》 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 1、原函数定义 2、原函数存在定理 3、不定积分定义 教 学 举例说明不定积分直接求法 过 程 二、积分公式 三、不定积分的性质 性质1．[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx 性质2．kf(x)dxkf(x)dx， （k为常数，k0） 举例说明应用 77

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 1、原函数定义 2、原函数存在定理 3、不定积分定义 板书计划 例1-3 二、积分公式 例4 三、不定积分的性质 性质1．[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx 性质2．kf(x)dxkf(x)dx， （k为常数，k0） 例5-10 作业布置 课后小结

习题4－1：4、5 78

《高等数学Ⅰ》

第27次课

章节 第四章 不定积分 第二节 换元积分法 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。 重点：不定积分的换元法。 难点：不定积分的第二类换元法。 授课讲授、交流讨论 方式 79

《高等数学Ⅰ》 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则 f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x) 公式称为第一类换元积分公式。 教 举例说明应用 学 过 二、第二类换元积分法 程 定理2 设x(t)是单调的可导函数，且(t)0，又设 f[(t)](t) 具有原函数，则 f(x)dxf[(t)](t)dtt(x)

其中t(x)为x(t)的反函数。公式称为第二类换元积分公式。 举例说明应用 80

别 《高等数学Ⅰ》教案

归纳小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元教 学 过 程 积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即xasint或xacost，xatant与xasect，分别适用于三类函数f(a2x2)，f(x2a2)与f(x2a2)。“倒代1换”x也属于第二类换元法。 t第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则 f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x) 公式称为第一类换元积分公式。 板书计划 例1-8 二、第二类换元积分法 定理2 设x(t)是单调的可导函数，且(t)0，又设 f[(t)](t) 具有原函数，则 f(x)dxf[(t)](t)dtt(x)

其中t(x)为x(t)的反函数。公式称为第二类换元积分公式。 例9-11 作业布置 课后小结 习题4－2：2（7）（13）（33）（43） 81

《高等数学Ⅰ》

第28次课

章节 第四章 不定积分 第三节 分部积分法 学时 2 教学无 准备 教学使学生掌握不定积分的分部积分法。 目的 重重点：不定积分的分部积分法。 点难点 难点：分部积分法中u与dv的选取。 授课讲授、交流讨论 方式 82

《高等数学Ⅰ》 第三节 分部积分法 udvuvvdu (3-1) 或 uvdxuvvudx (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。 教 学 举例说明应用 过 程 1、由例可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。 2、由例可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u，其余部分取为dv。 83

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。 第三节 分部积分法 udvuvvdu (3-1) 板书计划 或 uvdxuvvudx (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。 例1-6 作业布置 课后小结

习题4－3：20、24 84

《高等数学Ⅰ》

第29次课

章节 第四章 不定积分 第四节 有理函数的积分 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 重点：有理函数的积分。 难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 授课讲授、交流讨论 方式 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 教 二、三角函数有理式的积分 学 过 三、简单无理式的积分 程 举例说明应用 练习讲评 85

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 例1-3 板书计划 二、三角函数有理式的积分 例4 三、简单无理式的积分 例5-6 练习讲评 作业布置 课后小结

习题4－4：19、24. 86

《高等数学Ⅰ》

第30次课

章节 第四章 不定积分 讲评作业及复习 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 学生进一步熟悉不定积分的计算。 重点：不定积分的计算。 难点：分部方法与换元方法结合使用的例题。 授课讲授、交流讨论 方式 87

《高等数学Ⅰ》 讲评作业及复习 一、讲评作业 二、习题课 (一)主要内容 1、原函数 2、原函数存在定理 教 3、不定积分 学 过 4、基本积分表 程 5、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 6、第一类换元公式（凑微分法） 7、第二类换元法 7、分部积分法 （二）典型例题 88

别 《高等数学Ⅰ》教案

教 学 过 程 归纳小结： 一、讲评作业 二、习题课 (一)主要内容 1、原函数 2、原函数存在定理 3、不定积分 板书计划 4、基本积分表 5、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 6、第一类换元公式（凑微分法） 7、第二类换元法 7、分部积分法 （二）典型例题 例1-4 作业布置 课后小结

《高等数学Ⅰ》

第31次课

章节 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 学时 2 教学无 准备 教学目的 重点难点 理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理。 重点：连续变量的累积，熟练运用性质。 难点：连续变量的累积，中值定理。 授课讲授、交流讨论 方式 90

《高等数学Ⅰ》 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分举例 1、 曲边梯形面积 2、 变速直线运动的路程 教 学 过 程 二、定积分的定义 函数可积的两个充分条件： 定理1 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2 设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 三、定积分的性质、中值定理 91