第二章
4．找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。 答：G={N,T,P,S}
其中N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中x∈{所有字母} y∈{所有的字符} P如下: S→x S→xA A→y A→yB B→y B→yC C→y C→yD D→y
6．构造上下文无关文法能够产生
L={ω/ω∈{a,b}*且ω中a的个数是b的两倍} 答：G={N,T,P,S}
7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S） (1) S→SaS S→b (2) S→aSb S→c (3) S→a S→aE E→aS
答：（1）b(ab)/n≥0}或者L={(ba)b/n≥0}
(2) L={acb/n≥0} (3) L={a2n+1 /n≥0} 第三章
1． 下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。
（1） 含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合
n
n n
n
其中N={S} T={a,b} P如下: S→aab S→aba S→baa
S→aabS S→aaSb S→aSab S→Saab S→abaS S→abSa S→aSba S→Saba S→baaS S→baSa S→bSaa S→Sbaa
（2） 含有相同个数a和b的字符串集合 （3） 不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合 答：（1）是正则集，自动机如下 偶a偶b a a
b b b b
a 偶a奇b
a
(2) 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题（2）。 (3) 是正则集
先看L’为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合 显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。（略） 则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L’的非。 根据正则集的性质，L也是正则集。
4．对下列文法的生成式，找出其正则式
（1） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：
S→aA S→B A→abS A→bB B→b B→cC C→D D→bB D→d
（2） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：
奇a奇b 奇a偶b S→aA S→B A→cC A→bB B→bB B→a C→D C→abB D→d
答：(1) 由生成式得：
S=aA+B ① A=abS+bB ② B=b+cC ③ C=D ④ D=d+bB ⑤
③④⑤式化简消去CD，得到B=b+c(d+bB) 即B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥ 将②⑥代入①
S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ε)(cb)*(cd+b) (2) 由生成式得：
S=aA+B ① A=bB+cC ② B=a+bB ③ C=D+abB ④ D=dB ⑤ 由③得 B=b*a ⑥
将⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+aba ⑦ 将⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧ 将⑥⑧代入① S=a(b+a+c(d+ab+a))+b*a
=aba+acd+acaba+b*a
+
++
5.为下列正则集，构造右线性文法： (1){a,b}*
(2)以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合 (3)以b为首后跟若干个a的字符串的集合
(4) 含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合 答：（1）右线性文法G=({S},{a,b},P,S)
P: S→aS S→bS S→ε
(2) 右线性文法G=({S},{a,b},P,S)
P: S→aS S→bS S→abb
(3) 此正则集为{ba*} 右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)
P: S→bA A→aA A→ε
(4) 此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*} 右线性文法G=({S,A,B,C},{a,b},P,S)
P: S→aS/bS/aaA/bbB A→aA/bA/bbC B→aB/bB/aaC C→aC/bC/ε
7.设正则集为a(ba)* (1) 构造右线性文法
(2) 找出（1）中文法的有限自 b动机 答：（1）右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)
P: S→aA A→bS A→ε
（2）自动机如下：
a P1 P2 b (p2是终结状态)
9.对应图（a）(b)的状态转换图写出正则式。（图略） （1） 由图可知q0=aq0+bq1+a+ε
q1=aq2+bq1
q0=aq0+bq1+a
=>q1=abq1+bq1+aaq0+aa
=(b+ab) q1+aaq0+aa =(b+ab) *( aaq0+aa)
=>q0=aq0+b(b+ab) *( aaq0+aa ) +a+ε
= q0(a+b (b+ab) *aa)+ b(b+ab) *aa+a+ε =(a+b (b+ab) *aa) *((b+ab) *aa+a+ε) =(a+b (b+ab) *aa) * (3) q0=aq1+bq2+a+b
q1=aq0+bq2+b q0=aq1+bq0+a =>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b
=(ba)*(aq0 +bbq0+ba+b)
=>q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a
=(ab)*(aaq0 +bq0+ ab+a)
=>q0=a(ba)*(a+bb) q0 + a(ba)*(ba+b)+b(ab)*(aa+b)q0+ b(ab)*(ab+a)+a+b
10.设字母表T={a,b},找出接受下列语言的DFA： （1） 含有3个连续b的所有字符串集合 （2） 以aa为首的所有字符串集合 （3） 以aa结尾的所有字符串集合
=[a(ba)*(a+bb) +b(ab)*(aa+b)]* (a(ba)*(ba+b)+ b(ab)*(ab+a)+a+b)
答：（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下： q0 q1 q2 q3 （2）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下：
q0 q1 q2 （3）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下：
q0 q1 q2 14构造DFA M1等价于NFA M，NFA M如下：
（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下：
σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q0} σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= Φ σ(q3,a)={q3} σ(q3,b)= {q3 }
a q1 q2 q2 b q0 q0 q0 a q1 q2 q2 b Φ Φ q2 a q0 q0 q0 q3 b q1 q2 q3 q3 （2）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{ q1,q2}),其中σ如下：
σ(q0,a)={q1,q2} σ(q0,b)={q1}
σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q1,q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= {q0} σ(q3,a)= Φσ(q3,b)= {q0}
答：（1）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q0,q1,q3]，[q0,q2,q3]，[q0, q1,q2,q3]} 其中Q1 ={[q0],[q0,q1], [q0,q1,q2],[ q0,q2],[ q0,q1, q2,q3],[ q0,q1, q3],[ q0,q2, q3],[ q0,q3]} σ1满足 [q0] [q0,q1] [q0,q1,q2] [ q0,q2] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q3] （
2
）
DFA
M1={Q1,
{a,b},
σ
1
a [q0,q1] [q0,q1,q2] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q1, q3] b [ q0] [ q0,q2] [ q0,q2] [q0] [ q0,q2, q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q3] [ q0,q3] , [q0],{ [q1],[q3],
[q1,q3],[q0,q1,q2],[q1,q2] ,[q1,q2,q3],[q2,q3]}
其中Q1 ={[q0],[q1,q3], [q1],[q2],[ q0,q1,q2],[q1,q2],[q3], [q1,q2,q3],[q2,q3]} σ1满足 [q0] [q1,q3] [q1] [q2] a [q1,q3] [q2] [q2] [q3] b [q1] [ q0,q1,q2] [q1,q2] [q0] [ q0,q1,q2] [q1,q2] [q3] [q1,q2,q3] [q2,q3] 15. 15.对下面矩阵表示的ε-NFA P(起始状态) q r(终止状态) ε φ {p} {q} a [q1,q2,q3] [q2,q3] Φ [q2,q3] [q3] [ q0,q1,q2] [ q0,q1,q2] [q0] [ q0,q1,q2] [q0] b {q} {r} φ c {r} φ {p} {p} {q} {r} (1) 给出该自动机接收的所有长度为3的串 (2) 将此ε-NFA转换为没有ε的NFA
答：（1）可被接受的的串共 23个，分别为aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc, caa, cab, cba, cbb, cca, ccb, bba, aca, acb, bca, bcb, bab, bbb, abb （2）ε-NFA：M=({p,q,r},{a,b,c},σ,p,r) 其中σ如表格所示。 因为ε-closure(p)= Φ
则设不含ε的NFA M1=({p,q,r},{a,b,c},σ1,p,r) σ1(p,a)=σ’(p,a)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),a))={p} σ1(p,b)=σ’(p,b)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),b))={p,q} σ1(p,c)=σ’(p,c)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),c))={p,q,r} σ1(q,a)=σ’(q,a)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),a))={p,q} σ1(q,b)=σ’(q,b)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),b))={p,q,r} σ1(q,c)=σ’(q,c)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),c))={p,q,r} σ1(r,a)=σ’(r,a)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),a))={p,q,r} σ1(r,b)=σ’(r,b)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),b))={p,q,r} σ1(r,c)=σ’(r,c)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),c))={p,q,r}
图示如下：(r为终止状态)
b,c p q a,b,c a,b,c a,b,c
c a,b,c b,c a,b,c
r a,b,c
16．设NFA M=({q0,q1},{a,b},σ,q0,{q1}),其中σ如下：
σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q1} σ(q1,a)= Φ σ(q1,b)= {q0, q1}
构造相应的DFA M1，并进行化简
答：构造一个相应的DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1]，[q0,q1]} 其中Q1 ={[q0]，[q1]，[q0,q1]} σ1满足 [q0] [q1] [q0,q1] 由于该DFA已是最简，故不用化简
17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集： （1） 由文法G的生成式S→aSbS/c产生的语言L(G) （2） {ω/ω∈{a,b}*且ω有相同个数的a和b} （3） {akcak/k≥1}
a [q0,q1] Φ [q0,q1] b [q1] [q0,q1] [q0,q1] （4） {ωω/ω∈{a,b}*}
证明：（1）在L(G)中，a的个数与b的个数相等
假设L(G)是正则集，对于足够大的k取ω= ak (cb)kc 令ω=ω1ω0ω2
因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k)
则ω1ω0ω2= a(a)(cb)c 在i不等于0时不属于L 与假设矛盾。则L(G)不是正则集
（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ω= ak bk 令ω=ω1ω0ω2
因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0ω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k)
则ω1ω0ω2= a(a)b 在i不等于0时a与b的个数不同，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集
（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ω= ak cak 令ω=ω1ω0ω2
因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k)
则ω1ω0iω2= ak–n(an)icak 在i不等于0时c前后a的个数不同，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集
（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ωω= ak bakb 令ωω=ω1ω0ω2
因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0ω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k)
则ω1ω0iω2= ak–n(an)ibakb 在i不等于0时不满足ωω的形式，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集
i
i
k–n
nik
i
i
k–n
ni
k
18．构造米兰机和摩尔机
对于{a,b}*的字符串，如果输入以bab结尾，则输出1；如果输入以bba结尾，则输出2；否则输出3。 答：米兰机：
a/3
qaa b/3 a/3 a/3 b/3 b/1 qba qbb a/2 b/3
a a b a qaa,3 qaab,3
qaba,3 摩尔机，状态说明同米兰机。
说明状态qaa表示到这个状态时，输入的字符串是以aa结尾。其他同理。
qab a b a b
qbba,2 qbb,3 a b b b
qbab,1 第四章
10. 把下列文法变换为无ε生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：
S →A1 | A2 , A1 →A3 | A4 , A2 →A4 | A5 , A3 →S | b |ε, A4 →S | a，A5 →S | d |ε
解: ⑴ 由算法3，变换为无ε生成式：
N’ = { S, A1,A2,A3,A4,A5 }
G1 = ( { S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 } , { a,b,d }, P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| S , S →A1 | A2 , A1 →A3 | A4 , A2 →A4 | A5 , A3 →S | b , A4 →S | a , A5 →S | d ,
⑵ 由算法4，消单生成式：
NS1 = { S1,S,A1,A2,A3,A4, A5 } ,
NS = NA1 = NA2 = NA3 = NA4 = NA5 = { S, A1,A2,A3,A4, A5 } , 运用算法4，则P1变为： S1 →a | b | d |ε , S →a | b | d , A1 →a | b | d , A2 →a | b | d , A3 →a | b | d , A4 →a | b | d , A5 →a | b | d
⑶ 由算法1和算法2，消除无用符号，得到符合题目要求的等价文法：
G1 = ( { S1 } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ，其中生成式P1为：S1 →a | b | d |ε.
11. 设2型文法G = ( { S,A,B,C,D,E,F } , { a,b,c } , P , S ) , 其中P：
S →ASB |ε; A →aAS | a ; B →SBS | A | bb
试将G变换为无ε生成式,无单生成式,没有无用符号的文法,再将其转换为Chomsky范式.
解: ⑴ 由算法3，变换为无ε生成式：
N’ = { S }
由S →ASB得出S →ASB | AB , 由A →aAS得出A →aAS | aA , 由B →SBS得出B →SBS | SB | BS |B, 由S∈N’ 得出S1 →ε| S ,
因此无ε的等效文法G1 = ( { S1,S,A,B } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：
S1 →ε| S , S →ASB | AB , A →aAS | aA | a,
B →SBS | SB | BS | B| A | bb , ⑵ 由算法4，消单生成式：
NS1 = { S1,S } , NS = { S } , NA = { A } , NB = { A,B }
由于S →ASB | AB∈P且不是单生成式,故P1中有S1 →ε| ASB | AB , 同理有 S →ASB | AB , A →aAS | aA | a , B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,
因此生成的无单生成式等效文法为
G1 = ( { S1,S, A,B } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| ASB | AB , S →ASB | AB , A →aAS | aA | a ,
B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,
⑶ 由算法1和算法2，消除无用符号(此题没有无用符号); ⑷ 转化为等价的Chomsky范式的文法:
将S1 →ASB变换为 S →AC , C →SB , 将S →ASB 变换为 S →AC ,
将A →aAS | aA 变换为 A →ED | EA, D →AS , E →a,
将B →SBS | aAS | aA | a | bb , 变换为 B →CS | ED | EA | FF, F →b , ⑸ 由此得出符合题目要求的等价文法：
G1 = ( { S1,S, A,B,C,D } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| AC | AB , S →AC | AB , A →ED | EA | a ,
B →CS | SB | BS | ED | EA | a | FF , C →SB , D →AS , E →a , F →b .
15. 将下列文法变换为等价的Greibach范式文法:
⑴ S →DD | a , D →SS | b
解: 将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位,
⑴ 对于D →SS ,用S →DD | a 代入得 D →DDS | aS | b ,
用引理变化为D →aS | b | aSD' | bD' , D’ →DS | DSD’ , ⑵ 将D生成式代入S生成式得 S →aSD | bD | aSD’D | bD'D | a , ⑶ 将D生成式代入D’生成式得
D’ →aSS | bS | aSD'S | bD'S | aSS D' | bS D' | aSD'S D' | bD'S D' , ⑷ 由此得出等价的Greibach范式文法：
G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下： S →aSD | bD | aSD’D | bD'D | a , D →aS | b | aSD' | bD' ,
D’ →aSS | bS | aSD'S | bD'S | aSS D' | bS D' | aSD'S D' | bD'S D' .
⑵ A1 →A3b | A2a , A2 →A1b | A2A2a | b , A3 →A1a | A3A3b | a
解: ⑴ 转化为等价的Chomsky范式的文法:
A1 →A3A4 | A2A5 , A2 →A1A4 | A2A6 | b , A3 →A1A5 | A3A7 | a , A4 →b , A5 →a , A6 →A2A5 , A7 →A3A4 ,
⑵ 转化为等价的Greibach范式的文法:
将非终结符排序为A1, A2,A3,A4,A5 ,A1为低位A5为高位,
①对于A2 →A1A4 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入得A2 →A3A4A4 | A2 A5A4 | A2A6 | b , 用引理变化为
A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ , A2’ →A5A4A2’ | A6A2’ | A5A4 | A6 ,
②对于A3 →A1A5 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入得A3 →A3A4A5 | A2A5A5 | A3A7 | a , A3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A2生成式代入A3生成式得 A3 →A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2’ A5A5 | bA2’A5A5 | A3A7 | a , 用引理变化为
A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | b A5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ ,
A3’ →A4A5 | A4A4A5A5 | A4A4A2’A5A5 | A7 | A4A5A3’ | A4A4A5A5A3’ | A4A4A2’A5A5A3’ | A7A3’ ,
③对于A6 →A2A5 ,将A2生成式代入A6生成式得 A6 →A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2’A5 | bA2’A5 ,
A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A3生成式代入A6生成式得 A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , ④对于A7 →A3A4 , 将A3生成式代入A7生成式得
A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 , ⑤将A5,A6生成式代入A2’生成式得
A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’ | bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | b A5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , 将A4,A7生成式代入A3’生成式得
A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ ,
⑶ 由此得出等价的Greibach范式文法:
G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下： A1 →A3A4 | A2A5 ,
A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ ,
A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | bA5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ , A4 →b ,
A5 →a ,
A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 , A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’ | bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | bA5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4 A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ .
20. 设文法G有如下得生成式: S →aDD , D →aS | bS | a , 构造等价的下推自动机. 解: 根据P162-163的算法,构造下推自动机M,使M按文法G的最左推导方式工作.
设M = (Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,qf } , T = { a,b} , Г = { a,b,D,S } , Z0 = S , F = { qf } ,
δ定义如下:
δ( q0,ε,S ) = { ( q0, aDD ) } ,
δ( q0,ε,D ) = { ( q0,aS ) , ( q0,bS ) , ( q0,a ) } , δ( q0,a,a ) = { ( q0,ε ) } , δ( q0,ε,ε ) = { ( qf,ε ) } .
21. 给出产生语言 L = { abc | i , j , k≥0 且 i = j 或者 j = k }的上下文无关
文法.你给出的文法是否具有二义性为什么 解: G=({S,A,B,C,D,E},{a,b,c}，P，S)
P：S →AD |EB, A →aAb |ε, B →bBc |ε, D →cD |ε, E →aE |ε 文法具有二义性。
因为当句子ω中a,b,c个数相同时，对于ω存在两个不同的最左(右)推导。 如abcL，存在两个不同的最左推导 SADS
22. 设下推自动机 M = ( {q0,q1},{a,b},{Z0,X},δ, q0, Z0,φ),其中δ如下:
δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)} ,A δ(q0,b, X) = {(q0, XX)} , δ(q1,b, X) = {(q1, ε)} , δ(q0,b, X) = {(q1, X)} , δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)} , 试构造文法G产生的语言 L (G) = L(M).
解: 在G中,N = { [q0,Z0,q0], [q0,Z0,q1], [q0,X,q0], [q0,X,q1], [q1,Z0,q0], [q1,Z0,q1],
[q1,X,q0], [q1,X,q1] } .
⑴ S生成式有
S →[q0,Z0,q0] , S →[q0,Z0,q1] ,
根据δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,则有
[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q0] , [q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] , [q0,Z0,q1] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q1] , EB
aEB
aBabBcabc 。
aAbD
abDabcCabc 及
ijk
[q0,Z0,q1] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q1] ,
因为有δ(q0,b, X) = {(q0, XX)},则有
[q0,X,q0] →b[q0,X,q0] [q0,X,q0] , [q0, X,q0] →b[q0,X,q1] [q1, X,q0] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q0] [q0, X,q1] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] ,
因为有δ(q0,a, X) = {(q1, X)},则有
[q0,X,q0] →a[q1,X,q0] , [q0,X,q1] →a[q1,X,q1] ,
因为有δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)},则有
[q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] , [q1,Z0,q1] →a[q0,Z0,q1] ,
因为有δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)},则有
[q0,Z0,q0] →ε,
因为有δ(q1,b, X) = {(q1, ε)},则有
[q1,X,q1] →ε
⑵ 利用算法1和算法2,消除无用符号后,得出文法G产生的语言L(G) =
{ N,T,P,S }
其中N = { S,[q0,Z0,q0],[q1,Z0,q0],[q1,X,q1], [q0,X,q1] },T = { a,b },生成
式P如下:
S →[q0,Z0,q0] ,
[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] , [q0,X,q1] →a[q1,X,q1] , [q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] , [q0,Z0,q0] →ε, [q0,Z0,q0] →ε.
23. 证明下列语言不是上下文无关语言:
⑴ { abc| m≤n };
证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取
ω = abc,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p
⑴ ω2和ω3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|ω2ω0ω3|>p; ⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj ) (j≤p) ,则当i≠1时, ω1ω2ω0ω3ω4中会出现a的个数与b的个数不等;
如果ω2和ω3都只包含c ,即ω2ω0ω3 = cj (j≤p),当i大于1时,ω1ω2iω0ω
i3
i
i
p
pp
n
nm
ω4中会出现c的个数大于a的个数 (b的个数);
i
i
⑶ 如果ω2和ω3分别包含a和b (b和c) ,当i=0时 ω1ω2ω0ω3ω4中会出现a, b的个数小于c的个数（或a,b个数不等） 这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言. ⑵ { a| k是质数 };
证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取ω
=ak ( k≥p且k≠1 ) ,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p ,且
|ω2ω3|=j≥1 ,则当i=k+1时,|ω1ω2iω0ω3iω4|=k+(i-1)*j=k+k*j= k*(1+j) ,k*(1+j)至少包含因子k且k≠1 ,因此必定不是质数,即ω1ω2iω0ω
i3
k
ω4不属于L.
这与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.
⑶ 由 a,b,c 组成的字符串且是含有 a,b,c 的个数相同的所有字符串.
证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取
ω = akbkck (k≥p) ,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p ⑴ ω2和ω3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|ω2ω0ω3|>p; ⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b或c) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj或cj ) (j≤p) ,
则当i≠1时, ω1ω2iω0ω3iω4中会出现a,b,c的个数不再相等;
⑶ 如果ω2和ω3分别包含a和b (b和c) , ω1ω2iω0ω3iω4中会出现a,b的个数与c的不等;
这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.
24. 设G是Chomsky 范式文法,存在ω∈ L (G) ，求在边缘为ω的推导树中,最长的路
径长度与ω的长度之间的关系.
解: 设边缘为ω的推导树中,最长路径长度为n,则它与ω的长度之间的关系为|ω|≤2n-1 .
因为由Chomsky范式的定义可知,Chomsky范式文法的推导树都是二叉树,在最长路径长度为n的二叉推导树中,满二叉树推出的句子长度最长,为2,因此ω的长度与其推导树的最长路径长度n的关系可以用上式表示.
25. 设计PDA接受下列语言(注意:不要求为确定的)
⑴ { 01| m≤n };
解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,q1,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } ,
δ定义如下:
δ( q0, ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } , δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } , δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } , δ( q0,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } ,
m
n
n-1
δ( q1,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) } δ( q1,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) } δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) }
⑵ { 01| m≥n };
解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,q1,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } ,
δ定义如下:
δ( q0, ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } , δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } , δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } , δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,ε,Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q1,ε,0 ) = { ( qf,ε ) } δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) } ⑶ { 0m1n0m | n和m任意 };
解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中
Q = { q0,q1, q2,q3,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } ,
δ定义如下:
δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,
m
n
δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ),( q0,ε)} , δ( q0,1, Z0 ) = { ( q3,ε ) } , δ( q3,1, ε) = { (q3,ε) } , δ( q3,ε, ε) = { ( qf,ε ) } , δ( q0,1,0 ) = { ( q1,0 ) } , δ( q1,1,0 ) = { ( q1,0 ) } , δ( q1,0,0 ) = { ( q2,ε ) } , δ( q2,0,0 ) = { ( q2,ε ) } , δ( q2,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q0, ε, Z0 ) = { ( qf, ε)}nm
第五章
1. 考虑如下的图灵机 M = ( {q0, q1, qf, },{0,1},{0,1,B},δ, q0,B,{ qf } ),其中
δ定义为:
δ(q0,0) = {(q1,1,R)} , δ(q1,1) = {(q0,0,R)} , δ(q1,B) = {(qf,B,R)} , 非形式化但准确地描述该图灵机的工作过程及其所接受的语言.
解: 开始时,M的带上从左端起放有字符串0(10)i (i≥0),后跟无限多个空白符的第一次
动作先读到第一个0,并改写为1;然后右移,如果找到第一个1,则改写为0,并继续向右寻找下一个0,这样重复进行.当向右寻找1的时候,找到一个空白符B,则结束.
该图灵机所接受的语言L(M) = { 0(10)i | i≥
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