一元二次不等式的解法教案

一、教学目标 1、知识与技能目标：

理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法，培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

2、过程与方法目标

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过图像探究一元二次不等式相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

3、情感与价值目标

激发学生学习数学的热情，培养用于探究的精神，勇于创新的精神，同时体会事务之间普遍联系的辩证思想。

二、教学的重点与难点

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集的关系

三、教学方法

引导启发式，讲练结合的教学方法。

四、课时安排

一课时

五、教学过程

（一）设置情境，引导新课。

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型

巴西世界杯足球场馆外要把一个长为8米，宽为6米的长方形绿化带进行美化，计划在四周栽种宽度相同的花卉，中间种植小草，为了美观要求草坪的种植

面积超过绿化带总面积的一半，此时花卉带的宽度设计的宽度应在什么范围？

设：花卉的宽为x(0（8-2x）(6-2x)>(1/2)*8*6 整理得 x2-7x-6>0

二、引导探究，获得新知。

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型 x2-7x+6>0

（1）一元二次不等式的定义

像ax2+by+c>0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 （2）探究一元二次不等式x2-7x+6>0的解集。

1、二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程有两个实数根：x1=1,x2=6

二次函数有两个零点： x1=1,x2=6于是，我们得到，二次方程的根就是二次函数的零点。

2,、观察图像，获得解集

画出二次函数y=x2-7x+6的图像。 如图，观察函数图像可知。

当x<1,x>6时，函数图像位于x轴上方；此时，y>0,即x2-7x+6>0。 当1<。 所以不等式x2-7x+6>0的解集是｛x Ix<1、x>6｝

2

（3）探究不等式的解法。

任意的一元二次不等式，总可以化为一下两种形式。 ax2+by+c>0(a>0)或ax2+by+c>0（a>0）

一般地，怎样确定一元二次不等式ax2+by+c>0与

ax2+by+c<0de 解集呢？ 组织谈论

从上面的例子出发，综合学生意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集。关键要考虑以下两点。

（1）抛物线y=ax2+by+c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2+by+c=0的跟的情况。

（2）抛物线y=ax2+by+c的开口方向，也就是a的符号。

总结讨论结果

（1）抛物线y=ax2+by+c（a>0）与x轴的相关位置，分三种情况，这可以由一

元二次方程ax2+by+c=0的判别式△=b2-4ac三种取值情况（△>0、△=0、△<0）来确定

因此，要分两种情况来讨论 （2）a>0可以转化为a<0

分△>0、△=0、△<0三种情况，得到一元二次不等式ax2+by+c>0与ax2+by+c<0的解集。

设相应的一元二次方程ax2+by+c=0（a≠0）的两根x1,，x2且x10 △=0 △<0 二次函数 Y=ax2bxc（a>0）的图像 有两相异实根x1,，x2 有两相等实根x1,，x2 无实根 一元二次方程ax2bxc=0（a>0）的根 (x1< x2) x1,= x2=b 2aax2bxc>0的解集(a>0) ｛x|xx2｝ ｛xIx≠b｝ 2aR ax2bxc<0的解集(a>0) ｛x|x1例1 求不等式4x24x1>0的解集

分析 （1） 可以看出4x24x1能因式分解为(2x1)2，即不等求不 式4x24x1>0的解集（P78）

4x24x1>0的解集也是(2x1)2的解集，则x是解集；

（2） 判断△=b24ac=0，即不等式有一个实数根。画出图像。

1就2

可以得与x轴只有一个交点，则x 解析 方法一：因式分解得(2x1)2>0，又因为x1就是解集 21,所以不等式 2 4x24x1>0的解集为｛x|x1｝: 2 方法二：因为△=b24ac=0，所以方程4x24x1=0有一个根，

1如图可得不等式的解集为｛x|x｝。

2例2 求不等式x23x100的解集

分析 第一步x23x10=0可以因式分解（x-5）（x+2）=0,即方程的根为x12,x25画出图像可得解集

解析 x23x10=（x-5）（x+2）>0,方程的根为x12,x25如图可得解集为｛x|x<-2或x>5｝

课后小结

解一元二次不等式的步骤是： （1） 把不等式化为a>0的形式； （2） 判定△与0的关系； （3） 求出相应方程的根；

（4） 根据函数图像写出不等式的解集；

“一化二判三求四解”