数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式

一、公式法

类型1 an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。 解：an12an32n两边除以2n1

anan1an3an1an3{}是，则，故数列nn1nn1n2222222an3a231(n1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，122n221231n所以数列{an}的通项公式为an(n)2。

22，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an32n转化为

an1an3n，说明数列n1222aan3{n}1(n1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2n2n2{an}的通项公式。

练习题：

n1.已知数列{an}满足an13an231，a13，求数列{an}的通项公式。

2. 已知数列an满足a111，an1an2，求an 2nn，a11，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an1an2n1解：由an1an2n1得an1an2n1则

an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)1 (n1)n2(n1)12(n1)(n1)1n2 专业 知识分享

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所以数列{an}的通项公式为ann2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)二、累乘法

类型2 an1f(n)an 解法：把原递推公式转化为

(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 ann例3 已知数列{an}满足an12(n1)5an，a13，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an12(n1)5an，a13，所以an0，则

an12(n1)5n，故anananan1an1an2a3a2a1a2a1[2(21)52][2(11)51]3

21[2(n11)5n1][2(n21)5n2]2n1[n(n1)32n132]5(n1)(n2)n!n135n(n1)2所以数列{an}的通项公式为an325n(n1)2n!.

评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为

an12(n1)5n，进而求an出

anan1an1an2a3a2a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1(n1)an1(n2)，求{an}的通

，ana12a23a3例4 已知数列{an}满足a11项公式。

解：因为ana12a23a3所以an1a12a23a3(n1)an1(n2)

②

①

(n1)an1nan

用②式－①式得an1annan.

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则an1(n1)an(n2)

故

an1n1(n2) an所以ananan1an1an2a3a2[n(n1)a243]a2n!a2. 2由ana12a23a3(n1)an1(n2)，取n2得a2a12a2，则a2a1，又知

a11，则a21，代入③得an1345所以，{an}的通项公式为annn!。 2n!. 2an1n1(n2)，an评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为

进而求出

anan1an1an2a3a2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的a2通项公式。 练习题：

1.已知数列an满足a12.已知a13，an1

三、待定系数法

类型3 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中t利用换元法转化为等比数列求解。

n例5 已知数列{an}满足an12an35，a16，求数列an的通项公式。

2nan，求an ，an13n13n1an (n1)，求an 3n2q，再1p解：设an1x5n12(anx5n)

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nn1n将an12an35n代入④式，得2an35x52an2x5，等式两边消去

nn,x1,x5，两边除以5，得35x2x则代入④式得2an，得35nx5n12an15n12(an5n)

1 ⑤

an15n1由a156510及⑤式得an50，则2，则数列{an5n}是以nan5na1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5n)，从而可知数列{an5n}是等比数列，进而求出数列{an5n}的通项公式，最后再求出数列

{an}的通项公式。

n练习题1 已知数列{an}满足an13an524，a11，求数列{an}的通项公式。

2练习题 2 已知数列{an}满足an12an3n4n5，a11，求数列{an}的通项公式。

过关练习：

1 已知数列an中，a11，an12an3，求an

2 在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

四、数学归纳法

例6已知数列{an}满足an1an8(n1)8，a，求数列{an}的通项公式。 122(2n1)(2n3)9解：由an1an88(n1)a及，得 122(2n1)(2n3)9 专业 知识分享

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8(11)8822422(211)(213)9925258(21)248348a3a2 22(221)(223)252549498(31)488480a4a3(231)2(233)249498181a2a1(2n1)21由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。

(2n1)2(211)218（1）当n1时，a1，所以等式成立。 2(211)9(2k1)21（2）假设当nk时等式成立，即ak，则当nk1时，

(2k1)28(k1)

(2k1)2(2k3)2ak1ak(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)(2k3)(2k1)(2k1)2(2k3)2222

(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，当nk1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何nN都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

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其他类型

类型4 an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。 （或

an1panrqn,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：

an1pan1引入辅助数列qn1qqnqbn（其中bnanp1bb），得：再待定系数法解决。 n1nqnqq课后练习题 已知数列an中，a1

511n1,an1an()，求an。 632类型5 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an)) 解

法

：

这

种

类

型

一

般

利

用

S1(n1)anSnSn1(n2)与

anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn (n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。

课后练习题 已知数列an前n项和Sn4an（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.

12n2.

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类型6 an1pananb(p1、0，a0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

anxny是公比为p的等比数列。

课后练习题 设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

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