UM Maglev模块里的几种磁浮控制模型
本文内容源自UM软件用户手册第29章，因译者学识和水平有限，难免有错误之处，恳请读者批评指正。
请注意：UM Maglev早期的用户手册及本文参考文献中有笔误之处，本文已将其修正，且推导过程比用户手册更为详细。
1 弹簧-阻尼控制模型
弹簧-阻尼控制模型是一种最简单的线性化磁浮控制模型，它忽略了控制器效应，常用于计算磁浮车辆系统的固有频率和特征值，这在模型初始调试阶段非常有用。
磁浮力的计算公式如下：
𝐹=𝐹0+𝑘𝑝(𝑆−𝑆0)+𝑐𝑝𝑆
(1)
式中，F0是额定磁浮力，S0是额定气隙，S是当前时刻的气隙，kp是刚度系数（位移反馈），cp是阻尼系数（速度反馈）。
2 单极电磁铁控制模型
图1 单极电磁铁
磁浮交通领域的学者在进行磁浮车辆动力学仿真研究时大多采用一种单极电磁铁模型，其电磁力计算公式如下：
𝐼2
(2) 𝐹=𝜅()
𝑆
式中，I是电流，S是气隙（悬浮或导向），κ是电磁铁常数，其计算公式为：
𝜇0𝐴𝑁2
(3) 𝜅=
4
式中，A是磁极面积，N是电磁铁线圈匝数，𝜇0是真空磁导率。 根据基尔霍夫电压定律，可得单极电磁铁回路的电压方程如下：
𝑑(𝐿𝐼)
(4) =−𝑅𝐼+𝑈
𝑑𝑡
即
(5) 𝐿𝐼+𝐿𝐼=−𝑅𝐼+𝑈
式中，R是电阻，U是电压，L是电感，电感L与气隙S和电磁铁常数κ相关，表示如下：
2𝜅
(6) 𝐿=
𝑆
故有
(7) 𝐿𝑆+𝐿𝑆=0
即
𝐿𝑆(8) 𝐿=−
𝑆
将式(8)代入式(5)，可得微分方程
𝐿𝐼
(9) 𝐿𝐼=−𝑅𝐼+𝑆+𝑈
𝑆
我们先来考虑稳态的情况，令F0为额定电磁力，S0为额定气隙，可得额定电流I0，额定电压U0和额定电感L0如下：
𝐼0=𝑆0√
𝐹0 𝜅
(10)
(11) 𝑈0=𝑅𝐼0
2𝜅
(12) 𝐿0=
𝑆0
考虑位移、速度和加速度反馈的PID（比例-积分-微分）电压控制模型为：
𝑡
𝑈=𝑈0+𝑈𝑠Δ𝑆+𝑈𝑣𝑆+𝑈𝑖𝑠∫Δ𝑆𝑑𝑡−𝑈𝑎𝑍{ (13)
Δ𝑆=𝑆−𝑆0
0
由图1可知，电磁铁的坐标Z增量方向与气隙S增量方向相反。若不考虑
积分环节，则Uis = 0，初始电压与额定电压相等，U0 = U0 = RI0。
将式(9)代入式(13)，可得
𝑡
𝐿𝐼=−𝑅𝐼+𝑈0+𝑈𝑠Δ𝑆+(𝑈𝑣+𝐿𝐼/𝑆)𝑆+𝑈𝑖𝑠∫Δ𝑆𝑑𝑡−𝑈𝑎𝑍0
(14)
因此，控制系统的参数为：F0，S0，κ，R，U0，Us，Uv，Uis，Ua。 该模型可用于常导高速磁浮列车的悬浮和导向控制，当然参数可能取值不同。
3 U形电磁铁控制模型
一种U形电磁铁常用于常导中低速磁浮交通，与高速磁浮不同的是，其横向采用被动控制（无的导向电磁铁），当车辆和轨道有相对横移时，磁浮力会产生一个横向分力，实现自动导向。
图2 U形电磁铁
UM Maglev模块提供了两种U形电磁铁控制模型：模型A和模型B。
3.1 模型A
悬浮（垂向）力计算公式
2𝑆2𝑦𝑦
𝐹−arctan) 𝑧=𝐹(1+𝜋𝑊𝜋𝑊𝑆𝑚𝑚
导向（横向）力计算公式
2𝑆𝑦
𝐹=𝐹arctan 𝑦
𝜋𝑊𝑆𝑚
其中，F也通过式(2)计算得到，y是相对横移量，Wm是磁极宽度。 这里，我们可以引入一个系数
𝜆𝐴=
则式(16)可以表示为
𝑆𝑦
𝐹arctan=𝐹𝜓𝐴(𝑦,𝑆,𝑆0)𝑦=𝐹𝜆𝐴
𝑆0𝑆
式(15)可以表示为
(15)
(16)
2𝑆0
𝜋𝑊𝑚
(17)
(18)
𝐹𝑍=𝐹(1+𝜆𝐴
𝑆𝑦𝑦𝑆𝑦−𝜆𝐴arctan)=𝐹(1+𝜆𝐴)−𝐹𝑦𝑆0𝑆0𝑆𝑆0𝑆
(19)
特别地，若𝜆𝐴=0，则𝐹𝑦=0，𝐹𝑍=𝐹，与式(2)吻合。
3.2 模型B
悬浮（垂向）力计算公式 12𝑊4𝑦𝑚−𝑦2(20) ) 𝐹+2𝑧=𝑁𝜇0𝑙𝐼(4𝑆24𝑆+𝜋𝑦𝑆
导向（横向）力计算公式
12142(21) () 𝐹=𝑁𝜇𝑙𝐼−𝑦04𝑆4𝑆+𝜋𝑦
其中，l是磁极长度，其余符号与前文的定义相同。 将式(21)代入式(20)可得
12𝐼2𝑦
(22) ()𝐹=𝑁𝜇𝑙𝑊−𝐹 𝑧0𝑚𝑦
4𝑆𝑆
在式(21)中引入参数磁极宽度Wm和额定气隙S0，即乘以WmS0/WmS0，可得 12𝐼2𝜋𝑆01𝑦𝐹 𝑦=𝑁𝜇0𝑙𝑊𝑚()𝜋𝑦𝑆04𝑆4𝑊𝑚(1+
4𝑆)又由磁极面积为
𝐴=𝑙𝑊𝑚将式(24)代入式(3)
2𝜇0𝑙𝑊𝑚𝑁𝜅=
4
(23)
(24) (25)
将式(25)代入式(2)
2
𝜇0𝑙𝑊𝐼2𝑚𝑁
()𝐹=
4𝑆
(26)
定义系数
𝜋𝑆0𝜋2
𝜆𝐵==𝜆𝐴
4𝑊8𝑚
将式(26)和(27)代入式(22)
𝑦𝐹𝑧=𝐹−𝐹𝑦 𝑆
将式(26)和(27)代入式(23)
𝑦
𝐹𝑦=𝐹𝜆𝐵 𝜋𝑦𝑆0=𝐹𝜓𝐵(𝑦,𝑆,𝑆0)
(1+4𝑆)
1
(29) (22) (27)
在UM Maglev仿真界面，有Model A和Model B两个选项可供用户选择使用。
图3选择U形电磁铁模型
用户使用时需要指定相应的横向力比例系数（𝜆𝐴、𝜆𝐵）。
图4 设置横向力系数𝜆𝐴(𝜆𝐵)
令S = S0 = 8mm，𝜆𝐴=0.3，𝜆𝐵=𝜆𝐴，𝜆𝐵=1.234𝜆𝐴，对比模型A和模型B三种工况时函数𝜓(𝑦,𝑆,𝑆0)的结果，如图5所示。由式(18)和式(29)可知，当F确定时，函数𝜓(𝑦,𝑆,𝑆0)决定了横向力的大小。
图5 模型A和模型B工况对比
由式(17)和式(27)可知，当额定气隙和磁极宽度确定时，系数𝜆𝐵约为𝜆𝐴的1.234倍，由图5可以看出，在相对横移量较小时(＜5mm)，二者对应的横向力非常接近，当相对横移量大于5mm后，二者对应的横向力差异逐渐增大。
4 外部控制模型
除了上述自带的磁浮控制模型，UM软件还支持用户自定义控制模型。自定义控制系统输出的磁浮力通过建模时定义的参数符号（如图6中的fy_gmagnet_lf）传递给车辆系统，因此要求每个磁浮力对应不同的参数符号（唯一性）。请注意，磁浮力的方向始终跟随轨道坐标系。
图6 参数化建模
⚫ Identifier control
使用UM的参数符号控制功能，可以实现类似刚度-阻尼控制模型的简化模型，在用户手册第29章有详细介绍。 ⚫ Interface to Matlab/Simulink
采用UM提供的Matlab/Simulink控制系统接口，既可以将Matlab/Simulink编制的复杂控制系统编译为动态链接库，导入UM与机械系统建立连接，也可以将UM动力学模型输出以S函数形式链接到Matlab/Simulink，便于实现与第三方软件的联合仿真（Cosimulation）。 ⚫ Block Editor
Block Editor是UM自己开发的一个类似Matlab/Simulink的控制系统建模工具，无需编译动态链接库，用户操作更加简便。 ⚫ Programming in control files
理论上任意复杂的力元都可以通过UM的编程功能（二次开发）实现，详见用户手册第5章。
5 磁浮控制系统稳定性分析
考虑如图1所示的一个单自由度的单极电磁铁模型，我们从理论上来分析其稳定性，若不计积分环节，则系统方程为：
(30) 𝐿𝐼=−𝑅𝐼+𝑈0+𝑈𝑠Δ𝑆+(𝑈𝑣+𝐿𝐼/𝑆)𝑆−𝑈𝑎𝑍根据牛顿第二定律，得其运动方程如下：
𝐼2
(31) 𝑚𝑍=−𝐹0+𝜅()𝑆
式中m为电磁铁质量。 定义两个无量纲的变量
𝐼−𝐼0
(32) 𝑖=
𝐼0
𝑆−𝑆0𝑍−𝑍0
(33) 𝑠==−
𝑆0𝑆0
因此，可得
(34) 𝐼=𝐼0(1+𝑖)
(35) 𝑆=𝑆0(1+𝑠)
(36) 𝐼=𝐼0𝑖̇ (37) 𝑆=𝑆0𝑠̇
(38) 𝑍=−𝑆0𝑠̈
将式(34)，式(35) 和式(38)代入式(31)，可得
𝐼021+𝑖21+𝑖2
)=−𝐹0()+𝐹0𝑚𝑆0𝑠̈=𝐹0−𝜅()(
𝑆01+𝑠1+𝑠
由式(6)和式(35)，可得
(39)
𝐿0𝑆0𝐿0
=𝑆1+𝑠
将式(34)-(38)和式(40)代入式(30)，可得
𝐿=
(40)
𝐿0𝐿0𝐼0(1+𝑖)
𝐼0𝑖̇ =−𝑅𝐼0(1+𝑖)+𝑈0+𝑈𝑠𝑆0𝑠+(𝑈𝑣+)𝑆0𝑠̇+𝑈𝑎𝑆0𝑠̈(41) 1+𝑠𝑆0(1+𝑠)(1+𝑠)
整理式(39)可得
1+𝑖2𝑠2+2𝑠−𝑖2−2𝑖
))=𝐹0𝑚𝑆0𝑠̈=𝐹0(1−(
(1+𝑠)21+𝑠
(42)
当变量i和s都很小时，略去𝑠2，𝑖2和(1+𝑠)2，将式(42)线性化，可得
𝑚𝑆0
𝑠̈=𝑠−𝑖(43) 2𝐹0
在式(41)中消去一个(1+i)/(1+s)，可得 𝐿0𝐿0𝐼0
(44) )𝑠̇+𝑈𝑎𝑆0𝑠̈𝐼0𝑖̇ =−𝑅𝐼0(1+𝑖)+𝑈0+𝑈𝑠𝑆0𝑠+(𝑈𝑣𝑆0+
1+𝑠1+𝑠等式两边同除以U0=I0R，整理可得
𝐿0𝑈𝑠𝑆0𝑠𝑈𝑣𝑆0𝐿0𝑈𝑎𝑆0
(45) )𝑠̇+𝑖̇ =−𝑖++(+𝑠̈
(1+𝑠)𝑅(1+𝑠)𝑅𝑈0𝑈0𝑈0
再略掉(1+s)，可得线性化方程
𝐿0𝑈𝑠𝑆0𝑈𝑣𝑆0𝐿0𝑈𝑎𝑆0
(46) 𝑖̇ =−𝑖+𝑠+(+)𝑠̇+𝑠̈
𝑅𝑈0𝑈0𝑅𝑈0
定义两个时间常数
𝑇=√
𝑚𝑆02𝐹0
(47) (48)
𝐿0𝑇𝑖=
𝑅
再定义三个无量纲的控制系数
𝑈𝑠𝑆0
𝑘𝑠=
𝑈0𝑈𝑣𝑆0
𝑘𝑣=
𝑈0𝑇𝑈𝑎𝑆0
𝑘𝑎=
𝑈0𝑇2把式(47)代入式(43)，可得
𝑇2𝑠̈=𝑠−𝑖
把式(47)-(51)代入式(46)，可得
𝑇𝑖𝑖̇ =−𝑖+𝑘𝑠𝑠+(𝑘𝑣𝑇+𝑇𝑖)𝑠̇+𝑘𝑎𝑇2𝑠̈联立方程(52)和(53)，可假设其解的形式为
𝑠=𝑐𝑠𝑒𝜆𝑡,
写成矩阵形式
(49) (50) (51) (52) (53) (54)
𝑖=𝑐𝑖𝑒𝜆𝑡
𝑐𝑠𝑇2𝜆2−11
(55) ()()=0
−𝑘𝑎𝑇2𝜆2−(𝑘𝑣𝑇+𝑇𝑖)𝜆−𝑘𝑠𝑇𝑖+1𝑐𝑖
若方程组有非零解，则行列式为0，即
(𝑇2𝜆2−1)(𝑇𝑖+1)−(−𝑘𝑎𝑇2𝜆2−(𝑘𝑣𝑇+𝑇𝑖)𝜆−𝑘𝑠)=0 (56) 整理可得
𝑇2𝑇𝑖𝜆3+𝑇2(1+𝑘𝑎)𝜆2+𝑘𝑣𝑇𝜆+𝑘𝑠−1=0
再令
𝑎0=𝑇2𝑇𝑖 𝑎1=𝑇2(1+𝑘𝑎)
𝑎2=𝑘𝑣𝑇 𝑎3=𝑘𝑠−1
形成霍尔维茨矩阵
𝑎1(𝑎00
其稳定性条件为
𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3>0,
即
𝑇2(1+𝑘𝑎)𝑘𝑣𝑇−𝑇2𝑇𝑖(𝑘𝑠−1 )>0, 𝑘𝑠−1>0 (63)
整理可得
𝑇𝑖(𝑘𝑠−1)∗() =𝑘𝑣,𝑘𝑎>−1𝑇(1+𝑘𝑎)将式()代入式(49)-式(51)，可得控制系统稳定条件为
∗
𝑈0𝑈0𝑇𝑘𝑣𝑈0𝑇2∗∗∗(65) 𝑈𝑠>𝑈𝑠=,𝑈>𝑈𝑣=,𝑈𝑎>−𝑈𝑎=−
𝑆0𝑣𝑆0𝑆0
由式(65)可知，比例环节和微分环节是系统稳定的必要条件，增大比例控制系数𝑈𝑠的同时，微分控制系数𝑈𝑣也相应增加。如果考虑加速度反馈控制（𝑈𝑎>0），则可减小微分控制系数。用户可以既通过UM提供的线性分析工具（图7）求解根轨迹来评估控制参数的稳定性，亦可以通过时域仿真（图8）观察系统的动态响应来判定。
𝑘𝑠>1,𝑘𝑣>
𝑎3>0
(62)
𝑎3𝑎2𝑎1
00) 𝑎3
(58) (59) (60) (61) (57)
图7 根轨迹
图8 稳定悬浮和不稳定悬浮
参考文献
德米特里·波戈列洛夫, 雷强, 根纳季·米克希夫, & 亚历山大·罗迪科夫. (2019). 基于UM的磁浮列车-轨道梁耦合振动仿真程序开发. 计算机辅助工程, 28(01), 34-41.