椭圆知识点及经典例题

椭圆知识点及经典例题(总11

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椭圆知识点

知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2； 若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程

x2y2 1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：221(ab0)，其中

abc2a2b2

y2x22．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：221(ab0)，其中

abc2a2b2；

xacos 3.椭圆的参数方程(为参数)

ybsin 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有(ab0)和

c2a2b2； 3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，

(c,0)；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,c)

知识点三：椭圆的简单几何性质

x2y2 椭圆：221(ab0)的简单几何性质

abx2y2（1）对称性：对于椭圆标准方程221(ab0)：说明：把x换成x、或把

abx2y2y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆221是

ab以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa，yb。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2y2 ②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分

ab别为 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,b)

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a,B1B22b。a和

b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2cc。 2aa ②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近

a，从而ba2c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从

而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ab时，c0，这时两个焦点

重合，图形变为圆，方程为x2y2a。

椭圆x2y2注意：a2b21的图像中线段的几何特征（如下

图）：（1）(PF121PF22a)；

PFPMPF1PMe；

2(PM2a21PM2c)；

(BF1BF2a)；(OF1OF2c)；A1BA2Ba2b2；

（3）A1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac； 知识点四：椭圆第二定义

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率 a2左准线la21:xc 右准线l2:xc

知识点五：椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）r1aex0 （右焦半径）r2aex0 其中e是离心率

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

MF1aey0（ 其中FMF1,F2分别是椭圆的下上焦点） 2aey0

知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

弦长公式：若直线l:ykxb与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则 弦长AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx22) 1k2x1x2

1k2(x21x2)4x1x2

x2y2y2x2知识点七：椭圆221 与 221(ab0)的区别和联系

abab标准方程 x2y221 (ab0) 2aby2x221 (ab0) 2ab图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0,c)，F2(0,c) F1F22c xa，yb 关于x轴、y轴和原点对称 F1F22c xb，ya (a,0)，(0,b) 长轴长=2a，短轴长=2b (0,a)，(b,0) ec(0e1) aa2y ca2准线方程 x c焦半径 PF1aex0，PF2aex0 PF1aey0，PF2aey0 x2y2y2x2注意：椭圆221，221(ab0)的相同点：形状、大小都相同；参数

abab间的关系都有(ab0)和ec(0e1)，a2b2c2；不同点：两种椭圆的位置a不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法：

1．如何确定椭圆的标准方程

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(ab0)，(ac0)，且(a2b2c2)。

可借助右图理解记忆：

显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2By2C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

Ax2By2x2By21，即1，所以只有A、B、C同方程AxByC可化为

CCCCAB22号，且AB时，方程表示椭圆。当椭圆的焦点在y轴上。

CCCC时，椭圆的焦点在x轴上；当时，ABAB5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

x2y2共焦点，则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为

abx2y22(mb)，此类问题常用待定系数法求解。 122ambm7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦

1定理（或勾股定理）、三角形面积公式SPF1F2PF1PF2sinF1PF2相结合的方

2法进行计算解题。

将有关线段PF1、PF2、F1F2，有关角F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来，建立

PF1PF2、PF1PF2之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率ec(0e1)，因为ab2c2a2b2，ac0，用a、b表示为e1()(0e1)。

abb显然：当越小时，e(0e1)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0e1)越小，

aa椭圆形状越趋近于圆。

经典例题：

一、椭圆的定义

例1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )

A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线

x2y21左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF2的周长为例2、椭圆

169______

二、椭圆的标准方程

x2y21表示椭圆，则k的取值范围是( ) 例3、已知方程

1k1k A -10 C k≥0 D k>1或k<-1

x2y2例4、已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .

m12m

例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)

例6、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。

x3y2的内部与其相内切，0，且在定圆B：例7、 已知动圆P过定点A3，2求动圆圆心P的轨迹方程．

例8、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

45和325，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 3

三、离心率

x2y2例9、椭圆221(ab0)的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭

ab圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

例10、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为______

x2y2例11、椭圆221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，

ab使OPAP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

四、最值问题

x2y21两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为例12、椭圆4_____，最小值为_____

x2y21，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值和最小例14、已知椭圆4值。

六、直线和椭圆

x2y21，试问当m为何值时： 例16、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：42 (1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.

x2y21的右焦点，交椭圆于A、B两点，例17、已知斜率为1的直线l经过椭圆4求弦AB的长.

例18、已知椭圆4x2y21及直线yxm． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点 （2）若直线被椭圆截得的弦长为

210，求直线的方5程．

x2y21，直线l:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA例19、已知椭圆C：4⊥OB

x211例20、 已知椭圆y21，（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方

222程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A2，1（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ，

2求线段PQ中点M的轨迹方程．