2 017， 则有f(a)>0，f(b)<0，又因为a＋b>4 034，则f(a)＋f(b)<0. 故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
x
9.关于函数f(x)＝ ，下列结论正确的是( )
1－xA．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 D．f(x)是定义域上的增函数
x
AC 解析：∵f(x)＝ ，∴f(0)＝0，故选项A正确；
1－x
∵1－x≠0，∴x≠1，即f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，x
∴f(x)＝ 不是奇函数，故选项B错误；
1－x
∵f(x)＝
x1 ＝－1－ ，∴f(x)在区间(1，＋∞)和(－∞，1)上单调递增，故选项C1－xx－1
正确，D错误．故选AC．
10．下列结论正确的是( )
A．函数f(x)＝(x－1)0＋x＋1 的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞) B．函数y＝f(x)，x∈[－1，1]的图象与y轴有且只有一个交点 C．“k>1”是“函数f(x)＝(k－1)x＋k(k∈R) 为增函数”的充要条件
D．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 BCD 解析：要使函数
f(x)＝(x－1)0＋
x－1≠0，
x＋1 有意义，则x满足解 得x≥
x＋1≥0，
－1，且x≠1，因此函数f(x)的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，故选项A不正确；
函数y＝f(x)，x∈[－1，1]的图象与y轴有且只有一个交点，根据函数的定义可知选项B正确；
k>1⇔ 函数f(x)＝(k－1)x＋k(k∈R)为增函数，因此“k>1”是“函数f(x)＝(k－1)x＋k(k∈R)为增函数”的充要条件，故选项C正确；
奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(－0)＝－f(0)，因此f(0)＝0，故选项D正确． 故选BCD．
x－1，x<0，
11．已知函数f(x)＝2 g(x)＝x2－7，则( )
x＋x，x≥0，
A．f(x)是增函数 C．f(f(1))＝3
B．g(x)是偶函数 D．f(g(1))＝－7
x－1，x<0，
ABD 解析：对于函数f(x)＝当 x<0时，f(x)＝x－1显然单调递增，当
2
x＋x，x≥0，
1
x≥0时，f(x)＝x2＋x是开口向上，对称轴为x＝－ 的二次函数，所以在x≥0时单调递增，
2且0－1<02＋0，所以函数f(x)在定义域内是增函数，故选项A正确；
又f(1)＝1＋1＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝4＋2＝6，故选项C错误；
对于函数g(x)＝x2－7，定义域为R，关于原点对称，g(－x)＝(－x)2－7＝x2－7＝g(x)，所以g(x)是偶函数，故选项B正确；
又g(1)＝1－7＝－6，所以f(g(1))＝f(－6)＝－6－1＝－7，故选项D正确． 故选ABD．
12．我们把定义域为[0，＋∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”：(1)对任意的x∈[0，＋∞)，总有f(x)≥0；(2)若x≥0，y≥0，则有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)成立．下列判断正确的是( )
A．若f(x)为“Ω函数”，则f(0)＝0
B．若f(x)为“Ω函数”，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数
0，x∈Q，
C．函数g(x)＝ 在[0，＋∞)上是“Ω函数”
1，x∉Q
D．函数h(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上是“Ω函数”
AD 解析：因为对任意的x∈[0，＋∞)，总有f(x)≥0，所以f(0)≥0，又因为x≥0，y≥0，则有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)成立，所以f(0)≥f(0)＋f(0)，所以f(0)≤0，综合得f(0)＝0，所以若f(x)为“Ω函数”，则f(0)＝0，故选项A正确；
令f(x)＝0，x∈[0，＋∞)，易知f(x)为“Ω函数”，但f(x)在[0，＋∞)上不是增函数，故选项B错误；
显然函数g(x)满足条件(1)，如果x，y∈Q，则g(x＋y)＝0，g(x)＋g(y)＝0＋0＝0，所以g(x＋y)≥g(x)＋g(y)；如果x，y∉Q，取x＝2 ，y＝3 ，则g(x＋y)＝1，g(x)＋g(y)＝1＋1
0，x∈Q，
＝2，所以g(x＋y)1，x∉Q故选项C错误；
h(x)min＝h(0)＝0≥0，所以满足条件(1)，h(x＋y)－h(x)－h(y)＝(x＋y)2＋x＋y－x2－x－y2
－y＝2xy≥0，所以满足条件(2).所以函数h(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上是“Ω函数”，故选项D正确．
故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f(x)＝
3x
＋
x－1 的定义域为________.
|3－x|
|3－x|>0，
[1，3)∪(3，＋∞) 解析：由题意得解 得x≥1且x≠3，∴f(x)的定义域为[1，
x－1≥0，
3)∪(3，＋∞).
14．函数y＝－x2＋2x＋3 的单调递减区间是________.
[1，3] 解析：因为－x2＋2x＋3≥0，所以x∈[－1，3]，又因为f(x)＝－x2＋2x＋3图象的对称轴为x＝1且开口向下，所以单调递减区间为[1，3].
－x＋a，x≤0，
15．设f(x)＝1若 f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．
x＋，x>0，x(－∞，2] 解析：当x≤0时，f(x)≥f(0)＝a， 1
当x>0时，x＋ ≥2
x1
由题意得a≤x＋ ，
x∴a≤2.
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x2－2ax＋a＋2，其中a∈R. (1)当a＝1时， f(－1)＝________；
(2)若f(x)的值域是R，则a的取值范围为____________________．(本小题第一空2分，第二空3分)
(1)－2 (2)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析： (1)∵a＝1，∴当x>0时， f(x)＝x2－2x＋3.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1－2＋3)＝－2.
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0，又当x>0时，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝a，
若f(x)的值域是R， 则当x>0
时，f(x)＝x2－2ax＋a＋2
1x· ＝2，当且仅当x＝1时等号成立． x
a>0，
必须满足
2
Δ＝4a－4（a＋2）≥0
a≤0，
或 f（0）＝a＋2≤0，
解得a≥2或a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x＋5，x≤1，17．(本小题10分)已知函数f(x)＝
－2x＋8，x>1.
(1)求f(2)及f(f(－1))的值； (2)解关于x的不等式f(x)>4. 解：(1)f(2)＝－2×2＋8＝4；
f(f(－1))＝f(－1＋5)＝f(4)＝－2×4＋8＝0.
(2)当x≤1时， f(x)＝x＋5，若f(x)>4，则x＋5>4，解得x>－1，则－1当x>1时，f(x)＝－2x＋8，若f(x)>4，则－2x＋8>4，解得x<2，则1x2＋2x＋218．(本小题满分12分)已知函数f(x＋1)＝ .
x＋1(1)求函数f(x)的解析式；
(2)根据函数单调性的定义证明f(x)在(0，1)上单调递减． x2＋2x＋2（x＋1）2＋1
(1)解：∵f(x＋1)＝ ＝ ，
x＋1x＋1x2＋11
∴f(x)＝ ＝x＋ ；
xx
(2)证明：∀x1，x2∈(0，1)，且x111（x1－x2）（x1x2－1）1f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2＋x ＝(x1－x2)· ， 1－x1x2 ＝x1x1x22∵x1，x2∈(0，1)，∴0于是 >0，x1x2即f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)，
1
∴函数f(x)＝x＋ 在(0，1)上单调递减．
x19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1)若a>0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
33
－∞， . 解：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤ ，即函数f(x)的定义域是aa(2)当a－1>0，即a>1时，令t＝3－ax，
要使f(x)在(0，1]上是减函数，则函数t＝3－ax在(0，1]上为减函数，即－a<0，并且3－a×1≥0，解得1当a－1<0，即a<1时，令t＝3－ax，3－ax
(a≠1). a－1
要使f(x)在(0，1]上是减函数，则函数t＝3－ax在(0，1]上为增函数，即－a>0，并且3－a×1≥0，解得a<0.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]. 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m. (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．
(2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围．
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
mmm
x－ 2－m＋ ，则最大值－m＋ ＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0解：(1)f(x)＝－244
2
2
或m＝4.
mm
(2)函数f(x)图象的对称轴是x＝ ，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足 ≤－1，
22解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2].
m
(3)①当 ≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上单调递减，
2
f（2）＝3，
若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则
f（3）＝2，－4＋2m－m＝3，
即， 此时m无解． －9＋3m－m＝2，
f（2）＝2，m
②当 ≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增，则 即
2f（3）＝3，
－4＋2m－m＝2，
－9＋3m－m＝3，
解得m＝6.
mm
③当2< <3，即422mmm 2＋m·处取得最大值，则f ＝－ －m＝3，解得m＝－2或6，舍去． 222综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3].
21．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定
为60元．该厂为鼓励经销商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，经销商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式； (2)当经销商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解：(1)当0当10060，0∴p＝62－0.02x，100(2)设利润为y元，则当0当10020x，0222x－0.02x，100当0y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， ∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050. 显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
22．(本小题满分12分)经过函数性质的学习，我们知道：“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y＝f(x)为偶函数”．
(1)若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)＝2x－1，求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x－1)的解集；
(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形”的充要条件是“y＝f(x＋a)为偶函数”．若函数g(x)的图象关于1
直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－ .
x
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
解：(1)设x>0，则－x<0，则f(－x)＝2·(－x)－1＝－2x－1，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1.
2x－1，x≤0，
所以f(x)＝
－2x－1，x>0.
因为f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数， 所以f(x)>f(2x－1)等价于|x|<|2x－1|， 1
即x2<(2x－1)2，解得x< 或x>1.
31
所以不等式的解集是x|x<3或x>1 .
(2)①因为g(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以y＝g(x＋1)为偶函数，
所以g(1＋x)＝g(1－x)，即g(x)＝g(2－x)对任意x∈R恒成立． 又当x<1时，2－x>1， 所以g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－
1
x2－，x≥1，
x
2
11 ＝x2－4x＋4＋ . 2－xx－2
所以g(x)＝ 1
x－4x＋4＋，x<1.x－2
112x2
－②任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x11x1＋x2＋x2)x1x2 ， 1因为x10， >0，x1x21
x1＋x2＋所以(x1－x2)x1x2 <0，即g(x1)g(3x－1)等价于|x－1|>|3x－2|， 13即(x－1)2>(3x－2)2，解得 2431所以不等式的解集为x|2