全等三角形提高题
1．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD=4cm，BC=3cm，且AD∥BC．（1）你认为AE和BE有什么位置关系？并验证你的结论； （2）当点F运动到离点A多少cm时，△ADE才能和△AFE全等？为什么？ （3）在（2）的情况下，此时BF=BC吗？为什么？并求出AB的长
2.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D， CE⊥MN于E． （1）求证：BD=AE．
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD=AE．
（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠AFE=∠BFG．
答案： 1.
（1）AE⊥BE；（1分）
（2）当点F运动到离点A为4cm（即AF=AD=4cm）时，△ADE≌△AFE；（4分） ∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△AFE与△ADE中有∠1=∠2，AE=AE，AF=AD， ∴△AFE≌△ADE；（6分） （3）BF=BC； ∵△AFE≌△ADE， ∴∠D=∠5， ∵AD∥BC， ∴∠D+∠C=180°， ∵∠5+∠6=180°， ∴∠C=∠6，
在△ECB与△EFB中有 ∠3=∠4 ∠C=∠6 BE=BE
∴△ECB≌△EFB，
∴BF=BC．（8分）
∵AF=AD=4cm，BF=BC=3cm， ∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）．（10分）
2.（3）过B作BP∥AC交MN于P， ∵BP∥AC，
∴∠PBA+∠BAC=180°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PBA=∠BAC=90°， 由（2）得：∠BAP=∠ACF， ∴在△ACF和△ABP中，
∠PBA＝∠FAC
AB＝AC
∠BAP＝∠ACF
，
∴△ACF≌△ABP（ASA）， ∴∠AFC=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， 又∵∠PBA=90°， ∴∠PBG=45°， ∴∠ABC=∠PBG， 在△BFG和△BPG中，
BF＝BP ∠FBG＝∠PBG
BG＝BG
∴△BFG≌△BPG（SAS）， ∴∠BPG=∠BFG，
∵∠BPG=∠AFE， ∴∠BFG=∠AFE．．