圆与方程 知识点 归纳总结

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2. 2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆内

d＜r； b.点在圆上

d=r； c.点在圆外

d＞r

(2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2. ①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .

ED(1) 当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,2222，半径rDE4F222.

(2) 当D2E24F0时，方程表示一个点D2,E. 2(3) 当D2E24F0时，方程不表示任何图形. 4. 直线与圆的位置关系：

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2 圆心到直线的距离d1）dr直线与圆相离2）dr直线与圆相切3）dr直线与圆相交AaBbCAB22

无交点； 只有一个交点有两个交点；

；弦长|AB|=2rd22

1

必修2

rdd=rrd

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByC0xyDxEyF022求解，通过解的个数来判断：

（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系

（1）设两圆C1:(xa1)2(yb1)2r1与圆C2:(xa2)2(yb2)2r2，

圆心距d(a1a2)(b1b2)

2222① dr1r2外离4条公切线； ② dr1r2外切3条公切线； ③

r1r2dr1r2相交2条公切线；

④ dr1r2内切1条公切线； ⑤

0dr1r2内含无公切线；

外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程

22圆C1：xyD1xE1yF10，

22圆C2：xyD2xE2yF20，

则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

① 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题

2

必修2

过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为

xyDxEy1F11222xy2Dx2Ey2F0（1）

26. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)R2R1

求解k，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r

特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。 7．切点弦

(1)过⊙C：(xa)2(yb)2r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦

AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

22

2

2

8. 切线长： 若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=(x0a)2+(y0b)2r2．

9. 圆心的三个重要几何性质：

① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C1：x2 +y2 —2x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。

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