数列求和完全解读(学生用)

数列求和完全解读

数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：Sn = = ；

2、等比数列求和公式：Sn3、S=1 + 2 +…+ n = 4、S=1 + 2 +…+n = 5、S=1 +2 +…+n =

(q1)(q1)

例1、已知等差数列an的公差为1，且a1a2...a9999， 求：a3a6a9...a99的值. 例2、 已知log3x1，求xx2x3xn的前n项和. log23Sn的最大值.

(n32)Sn1例3、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)练习：1、已知：等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，求数列的项数n. 答案：n=26

2、一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和85，偶数项和为170，

n8 求此数列的公比及项数. 答案：q2 ，123n1n3、求和：Snn. 答案：Sn2n1n

2482224、数列中，若anan14n 且 a11求数列的前n项和 答案：snn2 5、数列{an}为等比数列，若Sn49， S2n112，求S3n 答案：193

二、累加求和

1

例4、（2005年高考）在数列{an}中，a11,a22,且an1an1(1)n(nN)，

求s100.

三、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

13572n1例5、试求,,,,...,n的前n项和.

248162例6、 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

2462n例7、求数列,2,3,,n,前n项的和.

2222练习：l、设

比为

，利用错位相减法求和.

，其中 为等差数列， 为等比数列，公

四、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

20051220054x)f()...f()的和. f(x)x例8、设s，求sf(2200620062002例9、求证C+3C+5C+…+（2n+1）C=(n+1)2

例10、求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N) 上分母是3的不可约分数之和。 练习：求sin21sin22sin23sin288sin2的值

五、拆（裂）项分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

通项分解（裂项）如：

（1）anf(n1)f(n) （2）an1

n(n1) 2

(2n)2（3）an

(2n1)(2n1)（4）an1

n(n1)(n2)n21 = ； 则Sn

n(n1)2n1111例11、求数列1,3,5(2n1n)的前项和

2482例12、求数列3，33，333，3333，…的前三项和.

(5) an练习：1、求和

1111 132435n(n2)112,123,,1nn1,的前n项和.

2、求数列

3、 在数列{an}中，an{bn}的前n项的和.

12n2，又bn，求数列n1n1n1anan11114,27,,n13n2，… aaa5、求1111111111之和. 4、求数列的前n项和：11,n个16、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

87、已知数列{an}：an,求(n1)(anan1)的值.

(n1)(n3)n1 六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例13、数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002. 例14、在各项均为正数的等比数列中，若

a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

＝log39log39log39 ＝10

七、与绝对值相关的求和

例15、数列{a}中,a=8,a=2且满足a

3

=2a-a(n∈N)

设S=|a|+|a|+…+|a|，求S。

八、利用性质求和

例16、在等比数列an中，已知sn48,s2n60,求s3n.(非倒序求和也) 作业:1.（2003年上海春季）设f(x)1, x22求f(5)f(4)...f(0)...f(5)f(6)的值为 . 2．求数列1,1111,,,....的和. 121231234123...n3．已知数列1，（1＋2），（1＋2＋22），…，（1＋2＋22...2n1)，…，则它

的前n项和为 .

4．设等比数列an的前n和为sn，若s3s62s9，求公比q的值. 5.（2002年模拟题）等比数列an中，s27,s691，则s4的值为 . 6.已知数列an的通项公式是an1nn1，若前n项和为10，则项数n为

87、已知数列{an}：an,求(n1)(anan1)的值.

(n1)(n3)n1 4