常州2023年中考数学试卷

常州2023年中考数学试卷（附答案）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）计算a8÷a2的结果是（A．a42．（2分）若代数式A．﹣1B．a6）C．a10）D．2）D．a16的值是0，则实数x的值是（B．0C．13．（2分）运动场上的颁奖台如图所示，它的主视图是（A．B．C．D．4．（2分）下列实数中，其相反数比本身大的是（A．﹣2023B．0C．）D．20235．（2分）2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B运载火箭可提供1078t起飞推力．已知1t起飞推力约等于10000N，则长征五号B运载火箭可提供的起飞推力约为（A．1.078×105NB．1.078×106NC．1.078×107N）D．1.078×108N第1页（共18页）6．（2分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）A．（﹣2，﹣1）7．（2分）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法（1）以A为端点画一条射线；（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．这一画图过程体现的数学依据是（A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例8．（2分）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s．在整个过程中，他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图象可能是（））图形A．第2页（共18页）B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）9的算术平方根是10．（2分）分解因式：x2y﹣4y＝11．（2分）计算：（﹣1）0+21＝﹣

．．．12．（2分）若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x、y，则y与x的函数表达式为．（用含a的代数式表13．（2分）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是示）．14．（2分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．第3页（共18页）16．（2分）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝．17．（2分）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为≈4.58）．（精确到个位，参考数据：18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是．第4页（共18页）三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝20．（8分）解不等式组．，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．21．（8分）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：（1）根据图中信息，下列说法中正确的是①这20名学生上学途中用时都没有超过30min；（写出所有正确说法的序号）；②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；③这20名学生放学途中用时最短为5min；④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．第5页（共18页）（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．22．（8分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．23．（8分）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接PQ，则PQ与BE的关系是．24．（8分）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm．若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？25．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相第6页（共18页）交于点A（2，4）、B（4，n）．C是y轴上的一点，连接CA、CB．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若△ABC的面积是6，求点C的坐标．26．（10分）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是；（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．27．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．第7页（共18页）28．（10分）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF＜AB），且点C、D、G、H在直线AB的同侧；第二步，设＝m，＝n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测DP、CQ的长度．（1）如图2，小丽取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑动矩形EFGH，当点E、A重合时，CQ＝；（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP＝CQ总成立．请说明理由；（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．第8页（共18页）参与试题解析一、选择题1．B．2．B．3．A．4．A．5．C．6．C．7．D．8．D．二、填空题9．3．10．y（x+2）（x﹣2）．11．1．12．y＝13．πa3．14．．15．16．4．17．74．．．18．解：∵AB＝AC＝4，∴AD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CNMD是平行四边形，∴DN∥BC，DN＝BC，CD∥MN，CD＝MN，∴∠ADN＝∠ACB＝45°＝∠ABC＝∠CMN，当M与B重合时，如图M1，N1，P1，∠ABN1＝90°，∴AN1＝∵P1是中点，∴MP1＝AN1＝＝2，，当MP⊥BC时，如图P2，M2，N2，∵P1，P，P2是中点，∴P的运动轨迹为平行于BC的线段，交AC于H，∴CH＝3﹣2＝1，∵∠ACB＝45°，∴PH与BC间的距离为P2M2＝CH＝，第9页（共18页）∵M不与B、C重合，∴三、解答题19．解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2＝x2﹣1，当x＝时，原式＝2﹣1＝1．，．20．【解答】解：解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞﹣1，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，在数轴上表示为，∴不等式组的整数解是：0，1，2．21．解：（1）根据在坐标系中点的位置，可知：这20名学生上学途中用时最长的时间为30min，故①说法正确；这20名学生上学途中用时在20min以内的人数为：17人，超过一半，故②说法正确；这20名学生放学途中用时最段的时间为5min，故③说法正确；这20名学生放学途中用时的中位数是用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生的用时均小于15min，故这20名学生放学途中用时的中位数为也小于15min，即④说法错误；故答案为：①②③．（2）根据图中信息可知，上学途中用时超过25min的学生有1人，故该校八年级学生上学途中用时超过25min的人数为400×120＝20（人）．（3）如图：第10页（共18页）设直线的解析式为：y＝kx+b，根据图象可得，直线经过点（10，10），（7，7），将（10，10），（7，7）代入y＝kx+b，得：，解得：，故直线的解析式为：y＝x；则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．22．【解答】解：（1）在①；②；③1中，无理数有两个，；∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10种，∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为第11页（共18页）＝．23．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：①如图，点Q即为所求；②PQ与BE的关系是：PQ∥BE，PQ＝BE，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，∴∠PBE＝∠ABC，∠QEF＝∠DEF，∴∠PBE＝∠QEF，∴PB∥QE，∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∴△ABG≌△DEH（ASA），∴BG＝EH，∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，∴BP＝EQ，∴四边形PQEB是平行四边形，∴PQ∥BE，PQ＝BE．故答案为：PQ∥BE，PQ＝BE．24．解：设页边距为xcm，第12页（共18页）根据题意得：（16﹣2x）（10﹣2x）＝16×10×70%，解得x＝1或x＝12（大于10，舍去），答：设置页边距为1cm．25．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为y＝；又∵点B（4，n）在y＝上，∴n＝2，∴点B的坐标为（4，2），把A（2，4）和B（4，2）两点的坐标代入一次函数y＝kx+b得解得，，∴一次函数的解析为y＝﹣x+6．（2）对于一次函数y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，即D（0，6），根据题意得：S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD＝解得：CD＝6，∴OC＝0或12，∴C（0，0）或（0，12）．＝6，26．解：（1）∵菱形ABCD是“可旋四边形”，∴AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的边长是2，第13页（共18页）故答案为：2；（2）如图1，连接OC，∵四边形ABCD是“可旋四边形”，O为旋点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC+∠OCA+∠OBC+∠OCB＝180°，∴2（∠OCA+∠OCB）＝180°，∴∠ACB＝90°；（3）如图2，四边形ABCD是“可旋四边形”，理由如下：分别作AD和BC的垂直平分线，交于点O，连接OA，OD，OB，OC，∴OA＝OD，OC＝OB，∵AC＝BD，∴△AOC≌△DOB（SSS），∴∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC，∴四边形ABCD是“可旋四边形”．第14页（共18页）27．解：（1）由题意得，﹣2b﹣4＝0，∴b＝﹣1；（2）∵tan∠AOD＝，∴设D（2t，5t），∴，∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），∴D（﹣1，﹣），∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴新抛物线设为：y＝（x﹣m）2﹣，∴﹣，∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），∴y＝（x+3）2﹣，∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，∴k≤﹣3；（3）如图，作PV⊥CQ于V，设P（t，），），∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（当x＝1时，y＝t2﹣2t﹣，∴Q（1，t2﹣2t﹣），∵＞0，∴∠CPQ＝90°，∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，第15页（共18页）CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，∴QV＝CV，∴PV＝CV＝QV，∴|t﹣1|＝，∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），当t＝3时，y＝32﹣3﹣4＝﹣，∴P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．28．解：（1）∵四边形ACBD和四边形EFGH是矩形，∴∠B＝∠EFG＝90°，BC＝AD，FG＝EH，∴FG∥BC，∴△OGF∽△OQB，∴∵，＝1，＝3，AB＝4，EF＝3，∴BC＝AD＝4，FG＝EH＝1，∵OF＝OE＝，OB＝AB﹣OE＝4﹣＝，∴，∴BQ＝，∴CQ＝4﹣＝，第16页（共18页）故答案为：；（2）如图1，∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAP，∴，同理可得，，∵O是EF的中点，O是AB的中点，∴OE＝OF，OA＝OB，∴，∵EH＝FG，∴AP＝BQ，∵AD＝BC，∴DP＝CQ；（3）如图，当m＝n时，即：同理（2）可得，，＝＝m时，DP＝CQ，理由如下：，第17页（共18页）∴AP＝∵∴AP＝，BQ＝，O是EF的中点，，BQ＝，，∴DP＝AD﹣AP＝AD﹣∴DP﹣CQ＝2AD﹣∴DP＝CQ，，CQ＝BQ﹣BC＝＝2AD﹣＝﹣AD，＝，当点O运动到AB的中点是，DP＝CQ＝0．第18页（共18页）