概率论 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征

§1数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

先通过下面的实例说明数学期望的直观含义． 某车间共有４台机床，这些机床由于各种原因时而工作时而停机，因而在任意时刻工作着的机床数X是一随机变量。为评估该车间机床的使用效率，需要知道车间中同时工作着的机床的平均数．

作了20次观察，结果如下：

工作机床数X 频数 频率 0 0 0/10 1 1 1/20 2 3 3/20 3 9 9/20 4 7 7/20

从表中可看出，在20次观察中，有1次“1台工作”， 有3次“2台工作”， 有9次“3台工作”， 有7次“4台工作”， “机床都不工作”的情况未出现．在20次观察中，工作机床总数为

001123394762。

所以，车间中同时工作机床的平均数为

62/20(0011233947)/200(0/20)1(1/20)2(3/20)3(9/20)4(7/20) 3.1式中，0/20、1/20、3/20、9/20、7/20是X的5种可能取值的频率，或概率的近似值。可以看出，X的平均数并不是X的5种可能取值的简单算术平均数(01234)/52。这种简单的算术平均数不能真实反映出随机变量X的平均情况，因为X取各个值的可能性即概率是不相等的。这个“平均数”应是随机变量所有可能取的值与相应概率的乘积之和，即以概率为权数的加权平均值。为此，我们引入数学期望这一概念。

定义1 设离散型随机变量X的分布律为

P{Xxi}pi (i1,2,)，

若级数

xpii1i绝对收敛，则称级数

xpii1i的和为随机变量X的数学期望，简称期望或均

值，记作E(X)，即

E(X)xipix1p1x2p2xnpn。

i1 【例1】 吴书p.90.例1。

1

【例2】 设X~b(1,p)，求E(X)。 解 设X的分布律为

X P

则它的数学期望

0 1 1p p E(X)0(1p)1pp

【例3】 吴书p.91.例2（盛书p.92.例6）。 设X~()，求E(X)。

二、连续型随机变量的数学期望

定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若反常积分则称反常积分

xf(x)dx绝对收敛，

xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记作E(X)，即

E(X)xf(x)dx

【例4】 吴书p.92.例4（盛书p.92.例7）。

设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X)。 【例5】 吴书p.92.例5。

设随机变量X服从参数为(0)的指数分布，求E(X)。

三、二维随机变量的数学期望

定义3 二维随机变量(X,Y)的数学期望为E(X,Y)(EX,EY)。 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

P{Xxi,Yyj}pij (i,j1,2,)，

则 E(X)xpii1ixipij

i1j1 E(Y)yj1jpjyjpij

i1j1设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则

2

E(X)xfX(x)dxxf(x,y)dxdy

E(Y)yfY(y)dyyf(x,y)dxdy

【例6】 吴书p.93.例7。 设(X,Y)的概率密度为

12y2f(x,y)0求E(X),E(Y)。

0yx1

四、随机变量函数的数学期望

设X是一个随机变量且已知其概率分布，则作为X的函数Yg(X)也是一个随机变量。 要计算Y的数学期望，可以先由X的概率分布求出Y的概率分布，再按期望定义求

E(Y)。但更方便的是利用X的分布及Y与X的函数关系直接计算Y的数学期望。

定理1 设离散型随机变量X的分布律为

P{Xxi}pi (i1,2,)，

g(x)是实值连续函数，且级数g(xi)pi绝对收敛，则随机变量函数Yg(X)的数学期

i1望为

E[g(X)]g(xi)pi。

i1定理2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，g(x)是实值连续函数，且反常积分

g(x)f(x)dx绝对收敛，则随机变量函数Yg(X)的数学期望为

E[g(X)]g(x)f(x)dx。

 【例7】 吴书p.94.例8。 设随机变量X的分布律为

XP20.10210.2000.2510.2020.153 0.10求随机变量函数YX的数学期望。 【例8】 吴书p.95.例9。

设随机变量X在区间(0,)内服从均匀分布，求随机变量函数YsinX的数学期望。

3

【例9】 吴书p.95.例10。

设X~N(0,1)，求E(X),E(X)。 【例10】 吴书p.95.例11。

求使商店所获利润最大的进货量。

定理3 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

2P{Xxi,Yyj}pij (i,j1,2,)，

g(x,y)是实值连续函数，且级数Zg(X,Y)的数学期望为

g(x,yii1j1j)pij绝对收敛，则随机变量函数

E[g(X,Y)]g(xi,jj)pij。

i1j1定理4 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，g(x,y)是实值连续函数，且反常积分数学期望为

g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则随机变量函数Zg(X,Y)的

E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy。

【例11】 吴书p.97.例12。

求随机变量函数ZXY的数学期望。

五、数学期望的性质

下面给出数学期望的几个性质，并假设所提到的数学期望均存在． 性质１ E(c)c （c为常数）。 性质２ E(cX)cE(X) （c为常数）。 性质3 设X,Y是任意两个随机变量，则有

E(XY)E(X)E(Y)。

这一性质可推广到有限个随机变量的情形，即

E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)。

性质4 设X,Y是两个相互的随机变量，则有

E(XY)E(X)E(Y)。

4

这一性质也可推广到有限个相互的随机变量的情形，即有

E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)。

运用数学期望的这些性质，可以简化一些随机变量数学期望的计算。 【例12】 吴书p.98.例13。

设X~N(,)，求E(X)。 【例13】 吴书p.98.例14。

设X~b(n,p)，求E(X)。

【例14】 吴书p.99.例15（盛书p.97.例12）。

求停车次数X的数学期望。

以上两例中，将X分解为n个随机变量之和，然后利用随机变量之和的数学期望等于随机变量数学期望之和的性质，来求数学期望的这种处理方法，具有一定的普遍意义。 【例15】盛书p.98.例13。

设电路中电流I(A)与电阻R()是两个相互的随机变量，其概率密度分别为

22ig(i)0试求电压VIR的均值。

2r0i1， h(r)900r3

§2方差

一、方差的定义

在许多实际问题中，往往只知道随机变量的数学期望是不够的，还需要知道随机变量取

值与其均值的偏离程度。 先看下面的例子。

在相同的条件下，甲、乙两人对长度为a的某零件进行测量，测量结果分别用X,Y表示，已知X,Y的概率分布如下：

X,Y PX PY

a0.02 0 0.1 a0.01 0.1 0.2 a 0.8 0.4 a0.01 0.1 0.2 a0.02 0 0.1 容易算出，E(X)E(Y)a，即甲、乙两人测量的平均值是相同的，这时仅用数学期望比较不出甲、乙两人测量技术的好坏。但从以上列表分布大致可以看到，X取值比Y取值

5

更集中于数学期望a附近，说明甲的测量技术比乙好。为了定量表示这种集中程度，需要用一个数值来刻划随机变量取值与其数学期望偏差的大小。为此，我们引入方差这一概念。

定义 设X是一个随机变量，若E[XE(X)]存在，则称E[XE(X)]为X的方

22差，记为D(X)或Var(X)，即

D(X)Var(X)E[XE(X)]2，

还引入与X具有相同量纲的量D(X)，记为(X)，称为标准差或均方差。 显然方差的大小反映了随机变量X取值的分散程度：方差越大，则X取值越分散；方差越小，则X取值越集中。

对离散型随机变量X

D(X)[xiE(X)]2pi。

i1对连续型随机变量X

D(X)[xE(X)]2f(x)dx。

对于方差，常用以下公式计算：

D(X)E(X2)[E(X)]2。

【例1’】 设随机变量X表示掷一颗骰子出现的点数，求X的期望和方差。 解

X的分布律为 P(Xk)1/6，(k1,2,,6)。由期望的定义有

E(X)(123456)1/67/2

对于方差的计算：

方法1 直接由方差的定义式， D(X)E[XE(X)](1/6)22(k7/2)k1262

[(5/2) (1/6)方法2 应用方差的常用公式，

(23/2)2(1/2)2(1/2)2(3/2)12。(5 /2)]35/因为 E(X)(1/6)(123456)91/6 所以 D(X)E(X)[E(X)]91/6(7/2)35/12。 一般来说，用方法2计算更方便些。

【例1】吴书p.102.例1（盛书p.99.例2）。 设随机变量X2222222222~(01)分布，求D(X)。

【例2】吴书p.102.例2（盛书p.99.例3）。

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设随机变量X~()分布，求D(X)。

【例3】吴书p.102.例3（盛书p.100.例4）。 设随机变量X~U(a,b)分布，求D(X)。

【例4】吴书p.103.例4（盛书p.100.例5）。 设随机变量X

~E()分布，求D(X)。

二、方差的性质

性质１ D(c)0 (c为常数)。

性质２ D(cX)cD(X) (c为常数)， 更一般有，D(aXb)aD(X) (a,b为常数)。

性质3 若X,Y相互，则 D(XY)D(X)D(Y)。 一般地，设X,Y是任意两个随机变量，则有

22D(XY)D(X)D(Y)2E{(XE(X))(YE(Y))}。

性质4 D(X)0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即

P{XE(X)}1

【例5】吴书p.105.例6（盛书p.101.例6）。 设随机变量X~b(n,p)分布，求D(X)。

【例6】吴书p.105.例7（盛书p.102.例7）。 设随机变量X~N(,2)分布，求D(X)。

【例7】吴书p.105.例8（盛书p.103.例8）。 求活塞能装入汽缸的概率。 【例8】吴书p.106.例9。

设随机变量X1,X2,,Xn相互，且具有相同的数学期望和方差，令

21n1n2XXi，S(XiX)2 ni1n1i12求E(X),D(X),E(S)。

三、切比雪夫不等式

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定理 设随机变量X具有数学期望E(X)，方差D(X)，则对于任意正数，不等式

22P{|X|}2

成立。

这不等式称为切比雪夫不等式，它也可写成如下形式；

2P{|X|}12。

【例9】吴书p.108.例10。

估计夜间同时使用的灯的盏数在6800与7200之间的概率。

§3协方差与相关系数

一、协方差

定义1 E{[XE(X)]Y称为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)，[E(Y)]}即

cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}。

由定义知，对于任意两个随机变量X和Y，有

D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)，

cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)。

协方差有如下性质： （1）cov(X,X)D(X)；

Y,X)； （2）cov(X,Y)cov(（3）cov(aX,bY)abcov(X,Y)，a,b为任意常数； （4）cov(C,X)0，C为任意常数；

（5）cov(X1X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Y)； （6）如果X与Y相互，则cov(X,Y)0。

二、相关系数

定义2 设随机变量X、Y的数学期望、方差都存在，称

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XYcov(X,Y)D(X)D(Y)

为随机变量X与Y的相关系数，XY是一个无量纲量。 令 X*XE(X)D(X)，Y*YE(Y)D(Y)

称X,Y为X,Y的标准化随机变量。易知

**E(X*)0，D(X*)1，E(Y*)0，D(Y*)1，

XY又称XY为标准协方差。 相关系数有如下性质： （1）|XY|1；

cov(X,Y)D(X)D(Y)cov(X*,Y*)E(X*Y*)。

（2）|XY|1的充要条件为，存在常数a,b，使得P{YaXb}1。 当XY0时，称X与Y不相关；当|XY|1时，称X与Y完全相关 【例1】吴书p.112.例1。

证明二维随机变量X与Y不相关,但不是相互。 【例2】吴书p.113.例2。

设X服从(,)上的均匀分布，X1sinX,X2cosX，求X1X2。

§4矩、协方差矩阵

定义 设X和Y是随机变量，若

kE(Xk)，k1,2,

存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若

kE{[XE(X)]k}，k2,3,

存在，称它为X的k阶中心矩。若

E(XkYl)，k,l1,2,

存在，称它为X和Y的kl阶混合原点矩。若

E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}，k,l1,2,

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存在，称它为X和Y的kl阶混合中心矩。 二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩 c11E{[X1E(X1)]}

2c12E{[X1E(X1)][X2E(X2)]} c21E{[X2E(X2)][X1E(X1)]}

c22E{[X2E(X2)]} 将它们排成矩阵形式

2c11c21称为二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。

c12 c22§5 二维正态分布

定义 设二维连续性随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)1212(x1)21exp 2222(1)11 2(x1)(y2)12(y2)2 22 (x,y),

其中1,2,1,2,都是常数，且1,20,1,2,11，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，记为

2(X,Y)~N(1,2,12,2,)

2222可以证明，二维正态随机变量的边缘概率密度分别为

fX(x)121e(x1)2221 和 fY(y)122e(x2)2222。

进而不难证明：1,2分别是X,Y的数学期望，1,2分别是它们的标准差，是它们的相关系数。

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二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于相关系数。这表明单由关于X和Y的边缘分布，一般不能确定X和Y的联合分布。 但当0，即X和Y互不相关时，就有

f(x,y)fX(x)fY(y)

即X和Y相互。此时，由关于X和Y的边缘分布，能唯一确定X和Y的联合分布。 下面列出二维正态随机变量的四条十分有用的性质： （1）当(X,Y)~N(1,2,1,2,)时，X~N(1,1),Y~N(2,2)；反之，如果X和Y相互，且X~N(1,1)，Y~N(2,2)，则

2222222,0)。 (X,Y)~N(1,2,12,2（2）当(X,Y)~N(1,2,1,2,)时，对任意不全为零的常数a,b，有aXbY

2~N(a1b2,a212b222ab12)。特别，当X和Y相互，且2X~N(1,12)，Y~N(2,2)，则对于不全为零的常数a,b，有aXbY 2~N(a1b2,a212b22)

22（3）当(X,Y)~N(1,2,1,2,)时，X和Y相互的充分必要条件是0。 （4）当(X,Y)~N(1,2,1,2,)时，(Z1,Z2)服从二维正态分布，其中

2222Z1a1Xb1Y，Z2a2Xb2Y都是X,Y的线性函数。。

【例1】吴书p.119.例1。 已知(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)问X,Y是否？

【例2】吴书p.119.例2。

1e2251x2y222255 (x,y)

设随机变量X和Y相互，且都服从正态分布N(0,)，记UXY，

2VXY。求

（1）U与V的相关系数UV； （2）U与V的相互的条件。

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【例3】吴书p.119.例3。

设二维正态随机变量X(X1,X2)的均值为E(X)(0,1)，协方差矩阵为

10.522。试计算：（1）D(2X1X2)；（2）E(X1X1X2X2)。 C0.51

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