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第二型曲线和曲面积分总结

来源：99网

数学含义

第二型曲线积分

在向量场中的积分

形式上为
∫ L X d x + Y d y = ∫ L ω = ∫ L ( X ( t ) x ′ ( t ) + Y ( t ) y ′ ( t ) ) d t \int _LXdx+Ydy=\int _L \omega =\int _L (X(t)x'(t)+Y(t)y'(t))dt ∫L​Xdx+Ydy=∫L​ω=∫L​(X(t)x′(t)+Y(t)y′(t))dt

  • 含义为平面区域内点 ( x , y ) (x,y) (x,y)有向量 F ( x , y ) = ( X ( x , y ) , Y ( x , y ) ) F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y)) F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))，构成向量场，在每个点处求 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)与 ( d x , d y ) (dx,dy) (dx,dy)的内积，即 F F F在 ( d x , d y ) (dx,dy) (dx,dy)切方向上的投影长度
  • ω \omega ω为一阶微分形式

梯度向量场上积分与路径无关
∫ L ( A ) ( B ) d ω = ω ( B ) − ω ( A ) \int _{L(A)}^{(B)} d\omega =\omega(B)-\omega (A) ∫L(A)(B)​dω=ω(B)−ω(A)
Green公式
∫ ∂ D X d x + Y d y = ∬ D ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) d x d y \int _{\partial D}Xdx+Ydy=\iint _D(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})dxdy ∫∂D​Xdx+Ydy=∬D​(∂x∂Y​−∂y∂X​)dxdy

  • 对 X d x + Y d y Xdx+Ydy Xdx+Ydy求全微分得到

d ( X d x + Y d y ) = ( ∂ X ∂ x d x + ∂ X ∂ y d y ) ∧ d x + ( ∂ Y ∂ x d x + ∂ Y ∂ y d y ) ∧ d y = ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) d x ∧ d y d(Xdx+Ydy)=(\frac{\partial X}{\partial x}dx+\frac{\partial X}{\partial y}dy) \wedge dx+ (\frac{\partial Y}{\partial x}dx+\frac{\partial Y}{\partial y}dy) \wedge dy\\ =(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})dx\wedge dy d(Xdx+Ydy)=(∂x∂X​dx+∂y∂X​dy)∧dx+(∂x∂Y​dx+∂y∂Y​dy)∧dy=(∂x∂Y​−∂y∂X​)dx∧dy

  • 有界闭区域 D D D的面积 S = ∫ ∂ D x d y = ∫ ∂ D − y d x = 1 2 ∫ ∂ D ( x d y − y d x ) S=\int _{\partial D}xdy=\int _{\partial D}-ydx=\frac{1}{2}\int _{\partial D}(xdy-ydx) S=∫∂D​xdy=∫∂D​−ydx=21​∫∂D​(xdy−ydx)

计算方法

  • 参数曲线化简为第一型曲线积分
  • 尽可能提取出全微分
  • 对于闭曲线可以尝试Green公式，将其化为区域内的重积分，但是一定要在区域内有向量场的定义
  • 对于非闭的曲线可以补成闭曲线，用区域的重积分减去多出来的曲线积分
第二型曲面积分

在三维空间中的向量场上的积分
∬ S X d y ∧ d z + Y d z ∧ d x + Z d x ∧ d y \iint_SXdy\wedge dz+Ydz\wedge dx+Zdx\wedge dy ∬S​Xdy∧dz+Ydz∧dx+Zdx∧dy

  • 两个一阶微分形式 d y , d z dy,dz dy,dz的楔积 d y ∧ d z dy\wedge dz dy∧dz为二阶微分形式， d y ∧ d z dy\wedge dz dy∧dz即为 y , z y,z y,z平面内有向投影的面积

计算方法

  • 简单的可以直接转化为重积分。当 d x × d y dx\times dy dx×dy与曲面法向量一致（角度为锐角）时直接写成重积分，否则要加负号

∬ S + f d x ∧ d y = ± ∬ D x y f d x d y \iint _{S^+}f dx\wedge dy=\pm\iint _{D_{xy}}fdxdy ∬S+​fdx∧dy=±∬Dxy​​fdxdy

  • 一般的用参数刻画曲面 ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) (x(u,v),y(u,v),z(u,v))，同样根据 d u × d v du\times dv du×dv关于曲面法向量的夹角，如果是锐角就是正，否则是负号

d x ∧ d y = D ( x , y ) D ( u , v ) d u ∧ d v ∬ S X d y ∧ d z + Y d z ∧ d x + Z d x ∧ d y = ∬ S ( X D ( y , z ) D ( u , v ) + Y D ( z , x ) D ( u , v ) + Z D ( x , y ) D ( u , v ) ) d u ∧ d v = ± ∬ D u v ( X D ( y , z ) D ( u , v ) + Y D ( z , x ) D ( u , v ) + Z D ( x , y ) D ( u , v ) ) d u d v dx \wedge dy = \frac{D(x,y)}{D(u,v)}du\wedge dv\\ \iint_SXdy\wedge dz+Ydz\wedge dx+Zdx\wedge dy=\iint _S(X\frac{D(y,z)}{D(u,v)}+Y\frac{D(z,x)}{D(u,v)}+Z\frac{D(x,y)}{D(u,v)})du\wedge dv\\ = \pm \iint _{D_{uv}}(X\frac{D(y,z)}{D(u,v)}+Y\frac{D(z,x)}{D(u,v)}+Z\frac{D(x,y)}{D(u,v)})dudv dx∧dy=D(u,v)D(x,y)​du∧dv∬S​Xdy∧dz+Ydz∧dx+Zdx∧dy=∬S​(XD(u,v)D(y,z)​+YD(u,v)D(z,x)​+ZD(u,v)D(x,y)​)du∧dv=±∬Duv​​(XD(u,v)D(y,z)​+YD(u,v)D(z,x)​+ZD(u,v)D(x,y)​)dudv

  • 夹角的判断：可以通过 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)分别对 u , v u,v u,v求偏导得到 d u , d v du,dv du,dv在曲面上的向量，从而叉积计算法向量。或者直接看出来。

  • 特殊的可以将 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)代入得到 d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy dz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy，将其化简为 ∬ S f d x ∧ d y \iint _S fdx\wedge dy ∬S​fdx∧dy

Gauss公式

Green公式 通量-散度 在高维空间中的扩展

有界闭区域 Ω ⊂ R m \Omega\sub \R ^m Ω⊂Rm的边界 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω是一个 C 1 C^1 C1正则曲面，则对 Ω \Omega Ω上任意向量场 ( X , Y , Z ) (X,Y,Z) (X,Y,Z)都有
∬ ∂ Ω ， 朝 外 X d y ∧ d z + Y d z ∧ d x + Z d x ∧ d y = ∭ Ω ( ∂ X ∂ x + ∂ Y ∂ y + ∂ Z ∂ z ) d x d y d z \iint _{\partial \Omega，朝外}Xdy\wedge dz+Ydz\wedge dx+Zdx\wedge dy=\iiint_\Omega (\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z})dxdydz ∬∂Ω，朝外​Xdy∧dz+Ydz∧dx+Zdx∧dy=∭Ω​(∂x∂X​+∂y∂Y​+∂z∂Z​)dxdydz

  • 如果 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω的单位法向量朝区域内，需要在重积分的基础上乘上负号

  • 同Green公式，同样是对 X d y ∧ d z + Y d z ∧ d x + Z d x ∧ d y Xdy\wedge dz+Ydz\wedge dx+Zdx\wedge dy Xdy∧dz+Ydz∧dx+Zdx∧dy求全微分

Stokes公式

Green公式 环量-旋度 在高维空间中的扩展

Σ \Sigma Σ为 R 3 \R ^3 R3中的二维有向曲面， ∂ Σ \partial \Sigma ∂Σ是闭曲线，沿着 Σ \Sigma Σ边界自然正向（即 Σ \Sigma Σ在左侧，曲线法向量在右侧，曲面法方向在上）
∫ ∂ Σ X d x + Y d y + Z d z = ∬ Σ ( ∂ Z ∂ y − ∂ Y ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ X ∂ z − ∂ Z ∂ x ) d z ∧ d x + ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) d x ∧ d y \int _{\partial \Sigma} Xdx+Ydy+Zdz =\iint _\Sigma (\frac{\partial Z }{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial z})dy\wedge dz +(\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial x})dz\wedge dx+(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})dx\wedge dy ∫∂Σ​Xdx+Ydy+Zdz=∬Σ​(∂y∂Z​−∂z∂Y​)dy∧dz+(∂z∂X​−∂x∂Z​)dz∧dx+(∂x∂Y​−∂y∂X​)dx∧dy

  • 如果 ∂ Σ \partial \Sigma ∂Σ单位法向量朝区域内，需要在右侧的曲面积分前加上负号（因为与曲面 Σ \Sigma Σ定向不符合）

计算方法

  • 参数曲面化为重积分
  • 利用一阶微分形式的形式不变性，对 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)可以将 d z dz dz化为 d x , d y dx,dy dx,dy的线性组合（参数方程的特殊情况）
  • 对于闭区域的边界用Gauss公式，或者补成闭区域（注意法方向朝外），内部一定要有定义

物理含义

第二型曲线积分

设 F = ( X , Y ) F=(X,Y) F=(X,Y)
∫ L X d x + Y d y = ∫ L ⟨ F , T ⟩ d l \int _L Xdx+Ydy=\int _L\left \langle F,T\right \rangle dl ∫L​Xdx+Ydy=∫L​⟨F,T⟩dl

  • T T T为切向量， d l dl dl是长度微元，相当于作用在很小的一段曲线上。
  • 上式为向量场作用在切方向上的功。将 F F F看成力就是沿 L L L移动做的功，将 F F F看成水流流速就是沿着 L L L的环量。

∫ L X d y − Y d x = ∫ L ⟨ F , n ⟩ d l \int _L Xdy-Ydx=\int_L\left \langle F,n\right \rangle dl ∫L​Xdy−Ydx=∫L​⟨F,n⟩dl

  • n n n为单位法向量（且在右侧，自然正向）， ( d y , − d x ) (dy,-dx) (dy,−dx)为法向量
  • 上式为向量场作用在法方向上的功。将 F F F看成水流的流速就是在 L L L边界上的流出的通量

Green公式

  • 环量-旋度公式

∫ L ⟨ F , d l ⟩ = ∬ D r o t   F d σ = ∬ D ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) d x d y \int _L \left \langle F,dl\right \rangle =\iint _D rot\ Fd\sigma=\iint _D(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})dxdy ∫L​⟨F,dl⟩=∬D​rot Fdσ=∬D​(∂x∂Y​−∂y∂X​)dxdy

  • 通量-散度公式

∬ L ⟨ F , n ⟩ d l = ∬ d i v   F d σ = ∬ D ( ∂ X ∂ x + ∂ Y ∂ y ) d x d y \iint _L\left \langle F,n\right \rangle dl =\iint div\ F d\sigma=\iint _D(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y})dxdy ∬L​⟨F,n⟩dl=∬div Fdσ=∬D​(∂x∂X​+∂y∂Y​)dxdy

第二型曲面积分

设 F = ( X , Y , Z ) F=(X,Y,Z) F=(X,Y,Z)
∬ S X d y ∧ d z + Y d z ∧ d x + Z d x ∧ d y = ∬ S ⟨ F , n ⟩ d σ \iint_SXdy\wedge dz+Ydz\wedge dx+Zdx\wedge dy=\iint _S \langle F,n\rangle d\sigma ∬S​Xdy∧dz+Ydz∧dx+Zdx∧dy=∬S​⟨F,n⟩dσ

  • d σ d\sigma dσ为面积微元， n n n为曲面的单位法向量
  • 在参数 ( u , v ) , x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) (u,v),x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v) (u,v),x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)下理解上式， n d σ = ∣ i ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v j ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v k ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∣ nd\sigma=\begin{vmatrix} i & \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ j & \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\\ k & \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix} ndσ=∣∣∣∣∣∣​ijk​∂u∂x​∂u∂y​∂u∂z​​∂v∂x​∂v∂y​∂v∂z​​∣∣∣∣∣∣​

任意维的第二型曲面积分

设 v = ( V 1 , V 2 , . . . , V m ) v=(V_1,V_2,...,V_m) v=(V1​,V2​,...,Vm​)
∬ S ⟨ v , n ⟩ d σ = ∬ U ⟨ v , ∣ e 1 ∂ x 1 ∂ u 1 . . . ∂ x 1 ∂ u m e 2 ∂ x 2 ∂ u 1 . . . ∂ x 2 ∂ u 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e m ∂ x m ∂ u 1 . . . ∂ x m ∂ u m ∣ ⟩ d u 1 d u 2 . . . d u m = ∬ U ∣ V 1 ∂ x 1 ∂ u 1 . . . ∂ x 1 ∂ u m V 2 ∂ x 2 ∂ u 1 . . . ∂ x 2 ∂ u 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ V m ∂ x m ∂ u 1 . . . ∂ x m ∂ u m ∣ d u 1 d u 2 . . . d u m = ∬ S ∑ k = 1 m ( − 1 ) k − 1 V k d x 1 ∧ . . . ∧ d x k ^ ∧ . . . ∧ d x m \iint _S \langle v,n\rangle d\sigma=\iint _U\langle v,\begin{vmatrix} e_1 & \frac{\partial x_1}{\partial u_1} & ...& \frac{\partial x_1}{\partial u_m}\\ e_2 & \frac{\partial x_2}{\partial u_1} & ...& \frac{\partial x_2}{\partial u_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ e_m & \frac{\partial x_m}{\partial u_1} & ... & \frac{\partial x_m}{\partial u_m} \end{vmatrix} \rangle du_1du_2...du_m\\ = \iint _U\begin{vmatrix} V_1& \frac{\partial x_1}{\partial u_1} & ...& \frac{\partial x_1}{\partial u_m}\\ V_2 & \frac{\partial x_2}{\partial u_1} & ...& \frac{\partial x_2}{\partial u_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ V_m & \frac{\partial x_m}{\partial u_1} & ... & \frac{\partial x_m}{\partial u_m} \end{vmatrix} du_1du_2...du_m\\ = \iint _S\sum _{k=1}^m(-1)^{k-1}V^kdx_1\wedge...\wedge \widehat{dx_k}\wedge...\wedge dx_m ∬S​⟨v,n⟩dσ=∬U​⟨v,∣∣∣∣∣∣∣∣∣​e1​e2​⋮em​​∂u1​∂x1​​∂u1​∂x2​​⋮∂u1​∂xm​​​......⋱...​∂um​∂x1​​∂u2​∂x2​​⋮∂um​∂xm​​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​⟩du1​du2​...dum​=∬U​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​V1​V2​⋮Vm​​∂u1​∂x1​​∂u1​∂x2​​⋮∂u1​∂xm​​​......⋱...​∂um​∂x1​​∂u2​∂x2​​⋮∂um​∂xm​​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​du1​du2​...dum​=∬S​k=1∑m​(−1)k−1Vkdx1​∧...∧dxk​ ​∧...∧dxm​

  • 其中 d x k ^ \widehat{dx_k} dxk​ ​表示删除 d x k dx_k dxk​

Gauss公式

  • 规定曲面 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω围成区域 Ω \Omega Ω，且单位法向量为自然正向（朝外）

∬ ∂ Ω ， 朝 外 ⟨ F , n ⟩ d σ = ∭ Ω d i v   F d μ = ∭ Ω ( ∂ X ∂ x + ∂ Y ∂ y + ∂ Z ∂ z ) d x d y d z \iint_{\partial \Omega，朝外}\langle F,n \rangle d\sigma=\iiint _\Omega div \ F d\mu =\iiint_\Omega (\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z})dxdydz ∬∂Ω，朝外​⟨F,n⟩dσ=∭Ω​div Fdμ=∭Ω​(∂x∂X​+∂y∂Y​+∂z∂Z​)dxdydz

Stokes公式

  • 曲线 ∂ Σ \partial \Sigma ∂Σ围成曲面 Σ \Sigma Σ，且绕着 Σ \Sigma Σ正法向量逆时针旋转（自然正向）

∫ ∂ Σ ⟨ F , d l ⟩ = ∬ Σ ⟨ r o t   F , n ⟩ d σ = ∬ Σ ( ∂ Z ∂ y − ∂ Y ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ X ∂ z − ∂ Z ∂ x ) d z ∧ d x + ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) d x ∧ d y \int_{\partial \Sigma}\langle F,dl\rangle=\iint _\Sigma \langle rot \ F ,n\rangle d\sigma=\iint _\Sigma (\frac{\partial Z }{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial z})dy\wedge dz +(\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial x})dz\wedge dx+(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})dx\wedge dy ∫∂Σ​⟨F,dl⟩=∬Σ​⟨rot F,n⟩dσ=∬Σ​(∂y∂Z​−∂z∂Y​)dy∧dz+(∂z∂X​−∂x∂Z​)dz∧dx+(∂x∂Y​−∂y∂X​)dx∧dy

统一曲线与曲面积分

参数化表示
d x 1 ∧ d x 2 ∧ . . . ∧ d x m = D ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) D ( u 1 , u 2 , . . . u m ) d u 1 ∧ d u 2 ∧ . . . ∧ d u m dx_1\wedge dx_2\wedge ...\wedge dx_m = \frac{D(x_1,x_2,...,x_m)}{D(u_1,u_2,...u_m)}du_1\wedge du_2\wedge...\wedge du_m dx1​∧dx2​∧...∧dxm​=D(u1​,u2​,...um​)D(x1​,x2​,...,xm​)​du1​∧du2​∧...∧dum​

  • 化简为 u 1 . . . u m u_1...u_m u1​...um​平面内的重积分

Green,Gauss,Stokes公式的统一形式
∫ ∂ Ω w = ∫ Ω d w \int _{\partial \Omega}w = \int _\Omega dw ∫∂Ω​w=∫Ω​dw
∂ Ω \partial \Omega ∂Ω为自然正向：曲线要求逆时针围绕曲面正法方向，曲面要求正法方向朝外，要求 Ω \Omega Ω内都有向量场

  • 保证转化为重积分（第二型曲面积分）时方向正确

对于微分形式 w = X d x ∧ d y w=Xdx\wedge dy w=Xdx∧dy， d w = ( ∂ X ∂ x d x + ∂ X ∂ y d y + ∂ X ∂ z d z ) ∧ d x ∧ d y dw=(\frac{\partial X}{\partial x}dx+\frac{\partial X}{\partial y}dy+\frac{\partial X}{\partial z}dz)\wedge dx\wedge dy dw=(∂x∂X​dx+∂y∂X​dy+∂z∂X​dz)∧dx∧dy，只对系数求微分，再通过楔积化简

简单场论

一阶微分形式确定的微分方程

X ( x , y ) d x + Y ( x , y ) d y = 0 X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0 X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0

化简为 d f ( x , y ) = 0 df(x,y)=0 df(x,y)=0，解集即为 f ( x , y ) = C f(x,y)=C f(x,y)=C

求解过程

  • 如果 ∂ X ∂ y − ∂ Y ∂ x = 0 \frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}=0 ∂y∂X​−∂x∂Y​=0，就可以写成全微分 d f df df

  • 否则引入积分因子 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)使得 ∂ ( μ X ) ∂ y − ∂ ( μ Y ) ∂ x = 0 \frac{\partial (\mu X)}{\partial y}-\frac{\partial (\mu Y)}{\partial x}=0 ∂y∂(μX)​−∂x∂(μY)​=0

    • 直接解 μ \mu μ并不容易，靠观察或猜 μ = μ ( y ) \mu=\mu(y) μ=μ(y)

    ∂ μ ∂ y X + μ ( ∂ X ∂ y − ∂ Y ∂ x ) = 0 ∂ μ ∂ y ⋅ 1 μ = 1 X ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y ) \frac{\partial \mu}{\partial y}X+\mu(\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x})=0\\ \frac{\partial \mu }{\partial y}\cdot \frac{1}{\mu}=\frac{1}{X}(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}) ∂y∂μ​X+μ(∂y∂X​−∂x∂Y​)=0∂y∂μ​⋅μ1​=X1​(∂x∂Y​−∂y∂X​)

    • 只需要右式与 x x x无关即可解出 μ \mu μ
    • 因此先算出 ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y \frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y} ∂x∂Y​−∂y∂X​，如果除 X X X与 x x x无关就可以解出 μ ( y ) \mu (y) μ(y)，如果除 Y Y Y与 y y y无关就可以解出 μ ( x ) \mu (x) μ(x)
    • 对于齐次方程可以写成关于 r r r的极坐标方程，都有 μ = μ ( r ) \mu=\mu (r) μ=μ(r)

常见的全微分

− x d x − y d y − z d z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 3 = d ( 1 x 2 + y 2 + z 2 ) / / 重 力 势 能 x d x + y d y x 2 + y 2 = d ( ln ⁡ x 2 + y 2 ) x d x + y d y x 2 + y 2 = d ( x 2 + y 2 ) x d x + y d y x + y = d ( ln ⁡ ∣ x + y ∣ ) x d y − y d x x 2 = d ( y x ) \frac{-xdx-ydy-zdz}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{2}{3}}}=d(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})//重力势能\\ \frac{xdx+ydy}{x^2+y^2}=d(\ln \sqrt{x^2+y^2})\\ \frac{xdx+ydy}{\sqrt{x^2+y^2}}=d(\sqrt{x^2+y^2})\\ \frac{xdx+ydy}{x+y}=d(\ln|x+y|)\\ \frac{xdy-ydx}{x^2}=d(\frac{y}{x})\\ (x2+y2+z2)32​−xdx−ydy−zdz​=d(x2+y2+z2 ​1​)//重力势能x2+y2xdx+ydy​=d(lnx2+y2 ​)x2+y2 ​xdx+ydy​=d(x2+y2 ​)x+yxdx+ydy​=d(ln∣x+y∣)x2xdy−ydx​=d(xy​)

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